数值分析(5)-分段低次插值和样条插值

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整理一下数值分析的笔记~
目录：

1. 误差

2. 多项式插值与样条插值(THIS)

3. 函数逼近

4. 数值积分与数值微分

5. 线性方程组的直接解法

6. 线性方程组的迭代解法

7. 非线性方程求根

8. 特征值和特征向量的计算

9. 常微分方程初值问题的数值解

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1. 分段低次插值

1.1 高次插值的龙格现象

  龙格现象就是插值多项式不收敛现象，节点(插值多项式的次数)增加不会带来精度的改善，甚至可能增加误差。

1.2 分段低次插值

  插值时先把整个区间分成若干个小区间，每个区间上作低次插值，拼一个分段函数作插值函数。优点诸多但是缺点时节点处导数值不连续，这就产生了样条插值。

2. 三次样条插值

2.1 样条曲线的特点

• 点点通过 $\rarr$ 插值

• 光顺

• 计算简单

• (对于低阶样条)保凸

2.2 三次样条

定义：设 $a=x_0 < x_1<...<x_n=b$，函数 $S(x) \in C^2[a,b]$，且在每个 $[x_i,x_{i+1}]$上为三次多项式，同时满足 $S(x_i)=f(x_i),(i=0,1,...,n)$，则称f为三次样条插值函数。

{三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于其自身光滑除了端点外不需要知道f的导数值}

若S为f的三次样条插值函数:

$S(x)=\begin{cases} S_1(x),&x \in [x_0,x_1]\\ S_2(x),&x \in [x_1,x_2] \\ ...\\ S_n(x), &x \in [x_{n-1},x_n] \end{cases}$

则 $S_i(x)=a_{i0}+a_{i1}x+a_{i2}x^2+a_{i3}x^3,i=1,2,...,n$，也就是共有4n个待定系数，而已知条件只有4n-2个，即：

$i=0,1,2,...,n时，S(x_i)=f(x_i)\\ i=1,2,...,n-1时，S(x_i^-)=S(x_i^+),\\S'(x_i^-)=S'(x_i^+)，\\S''(x_i^-)=S''(x_i^+)$

还需要两个才能确定最终的系数，通常是在区间端点a,b上各加一个条件即边界条件，由实际问题给出，常用的有三种类型：

• 给定两端点f(x)的一阶导数值 $S'(x_0)=f'(x_0),S'(x_n)=f'(x_n)$

• 给定两端点f(x)的二阶导数值 $S''(x_0)=f''(x_0),S''(x_n)=f''(x_n)$

• f具有周期性，即： $S(x_0^+)=S(x_n^-),S'(x_0^+)=S'(x_n^-),S''(x_0^+)=S''(x_n^-)$

但是通过4n个方程得到4n个待定参数也只是理论上可行，实际计算量太大，由此提出两种简单的构造方法:

2.3 三转角法(从样条函数的一阶导数出发)

假定 $S'(x_j)=m_j(j=0,...,n)$，根据分段三次埃尔米特插值多项式：

$S(x)=\sum_{j=0}^n[f_j\alpha_j(x)+m_j\beta_j(x)],\\ 其中\alpha_j(x)和\beta_j(x)为三次埃尔米塔插值基函数$

由插值条件，连续性条件和边界条件可得关于 $m_j$的三对角方程组，求出 $m_j$,得到三次样条插值函数。

2.4 三弯矩法(从样条函数的二阶导数出发)

S在 $[x_{i-1},x_i]$上为三次多项式，所以其二阶导数必为一次式。

设S(x)在节点 $x_i$处的二阶导数为： $S''(x_i)=M_i(i=0,1,...,n)$，则 $s''(x)$在此小区间上是x的线性函数，且因为 $S''(x_{i-1})=M_{i-1},S''(x_{i})=M_{i}$，用线性插值可得：

$S_i''(x)=M_{i-1}\frac{x-x_i}{x_{i-1}-x_i}+\\ M_i\frac{x-x_{i-1}}{x_i-x_{i-1}}，x \in [x_{i-1},x_i]\\ 记h_i=x_i-x_{i-1},有\\ S''(x)=M_{i-1}\frac{x_i-x}{h_i}+M_i\frac{x-x_{i-1}}{h_i}\\ 连续两次积分得\\ S_i(x)=M_{i-1}\frac{(x_i-x)^3}{6h_i}+M_i\frac{(x-x_{i-1})^3}{6h_i}+\\A_i(x_i-x)+B_i(x-x_{i-1})\\ 由于S_i(x_{i-1})=f(x_{i-1})=y_{i-1}且\\S_i(x_i)=f(x_i)=y_i\\ 得：S_i(x_{i-1})=\frac{1}{6}M_{i-1}h^2_i+A_ih_i=y_{i-1}\\S_i(x_i)=\frac{1}{6}M_ih_i^2+B_ih_i=y_i\\ 得：A_i=\frac{1}{h_i}\left(y_{i-1}+\frac{1}{6}M_{i-1}h_i^2\right)\\ B_i=\frac{1}{h_i}\left(y_{i}+\frac{1}{6}M_{i}h_i^2\right)\\ 代入得：\\ S_i(x)=M_{i-1}\frac{(x_i-x)^3}{6h_i}+M_i\frac{(x-x_{i-1})^3}{6h_i}+\\\frac{1}{h_i}\left(y_{i-1}+\frac{1}{6}M_{i-1}h_i^2\right)(x_i-x)+\\\frac{1}{h_i}\left(y_{i}+\frac{1}{6}M_{i}h_i^2\right)(x-x_{i-1}),x\in[x_{i-1},x_i]\\ 其中M_0,M-1,...,M_n是待求的常数，\\可利用S'(x_i-0)=S'(x_i+0)求出M_i$

由于：

$S_i(x)=M_{i-1}\frac{(x_i-x)^3}{6h_i}+M_i\frac{(x-x_{i-1})^3}{6h_i}+\\ \frac{1}{h_i}\left(y_{i-1}+\frac{1}{6}M_{i-1}h_i^2\right)(x_i-x)+\\\frac{1}{h_i}\left(y_{i}+\frac{1}{6}M_{i}h_i^2\right)(x-x_{i-1}),x\in[x_{i-1},x_i]\\ 求导，S_i'(x)=-M_{i-1}\frac{(x_i-x)^2}{2h_i}+M_i\frac{(x-x_{i-1})^2}{2h_i}+\\\frac{(y_i-y_{i-1})}{h_i}+\frac{h_i}{6}(M_i-M_{i-1})$

由此得：

$S'_i(x_i-0)=\frac{h_i}{6}M_{i-1}+\frac{h_i}{3}M_i+\frac{y_i-y_{i-1}}{h_i}\\ S'_i(x_{i-1}+0)=-\frac{h_i}{3}M_{i-1}-\frac{h_i}{6}M_i+\frac{y_i-y_{i-1}}{h_i}\\ 得S'_{i+1}(x_{i}+0)=-\frac{h_{i+1}}{3}M_{i}-\frac{h_{i+1}}{6}M_{i+1}+\frac{y_{i+1}-y_{i}}{h_{i+1}}$

因为 $S_i'(x_i-0)=S_{i+1}'(x_i+0)$可以求出参数 $M_{i-1},M_i,M_{i+1}$的一个方程：

$\frac{h_i}{6}M_{i-1}+\frac{h_i+h_{i+1}}{3}M_i+\frac{h_{i+1}}{6}M_{i+1}=\\\frac{y_{i+1}-y_i}{h_{i+1}}+\frac{y_{i}-y_{i-1}}{h_{i}}$

两边同乘 $\frac{6}{h_i+h_{i+1}}$，得方程：

$\frac{h_i}{h_i+h_{i+1}}M_{i-1}+2M_i+\frac{h_{i+1}}{h_i+h_{i+1}}M_{i+1}=\\\frac{6}{h_i+h_{i+1}}\left(f[x_i,x_{i+1}]-f[x_{i-1},x_i]\right)$

令：

$\mu_i=\frac{h_i}{h_i+h_{i+1}}\\ \lambda_i=\frac{h_{i+1}}{h_i+h_{i+1}}=1-\mu_i\\ g_i=\frac{6}{h_i+h_{i+1}}\left(f[x_i,x_{i+1}]-f[x_{i-1},x_i]\right)\\=6f[x_{i-1},x_i,x_{i+1}]$

则方程可以简写为： $\mu_iM_{i-1}+2M_i+\lambda_iM_{i+1}=g_i,i=1,2,...,n-1$，也就是共有n-1个方程，下面分三种边界条件依次讨论：

2.4.1 第一种边界条件，已知插值区间两端的一阶导数值

$\mu_i=\frac{h_i}{h_i+h_{i+1}}, \lambda_i=\frac{h_i}{h_i+h_{i+1}}\\ g_i=6f[x_{i-1},x_i,x_{i+1}],\\g_0=\frac{6}{h_1}(f[x_0,x_1]-y_0'),\\g_n=\frac{6}{y'_n-f[x_{n-1},x_n]}$

有三弯矩方程：

$\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & & & \\ \mu_1 & 2 & \lambda_1 & & \\ ...&...&...&...&...\\ & & \mu_{n-1} & 2 & \lambda_{n-1} \\ & & & 1 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} M_0 \\ M_1 \\ ... \\ M_{n-1}\\ M_n \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} g_0 \\ g_1 \\ ... \\ g_{n-1}\\ g_n \end{matrix} \right]$

2.4.2 第二种边界条件：已知插值区间两端的二阶导数值

有三弯矩矩阵：

$\left[ \begin{matrix} 2 & \lambda_1 & & & \\ \mu_2 & 2 & \lambda_2 & & \\ ...&...&...&...&...\\ & & \mu_{n-2} & 2 & \lambda_{n-2} \\ & & & \mu_{n-1} & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} M_1 \\ M_2 \\ ... \\ M_{n-2}\\ M_{n-1} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} g_1-\mu_1y''_0 \\ g_2 \\ ... \\ g_{n-2}\\ g_{n-1}-\lambda_{n-1}y_n'' \end{matrix} \right]\\ 且有自然边界条件：M_0=M_n=0$

2.4.3 第三种边界条件

有三弯矩矩阵：

$\left[ \begin{matrix} 2 & \lambda_1 & & & \mu_1\\ \mu_2 & 2 & \lambda_2 & & \\ ...&...&...&...&...\\ & & \mu_{n-1} & 2 & \lambda_{n-1} \\ \lambda_n& & & \mu_n & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} M_1 \\ M_2 \\ ... \\ M_{n-1}\\ M_n \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} g_1 \\ g_2 \\ ... \\ g_{n-1}\\ g_n \end{matrix} \right]$

值得注意的是，上面三种条件中的线性方程组的系数矩阵都是非奇异的，因此有唯一解，三次样条函数由边界条件唯一确定。

eg.设 $f(0)=0,f(1)=1,f(2)=0,f(3)=1,f''(0)=1,f''(3=0)$，试求 $f(x)$在区间[0,3]上的三次样条函数S(x).

解：由 $M_0=y''_0,M_n=y''_n$知 $M_0=f''(0)=1,M_3=f''(3)=0$,构造差商表：

$x_i$	$f(x_i)$	一阶差商	二阶差商
0	0
1	1	1
2	0	-1	-1
3	1	1	1

由：

$\mu_i=\frac{h_i}{h_i+h_{i+1}}\\ \lambda_i=\frac{h_{i+1}}{h_i+h_{i+1}}=1-\mu_i\\ g_i=\frac{6}{h_i+h_{i+1}}\left(f[x_i,x_{i+1}]-f[x_{i-1},x_i]\right)\\=6f[x_{i-1},x_i,x_{i+1}]$

得 $\mu_1=0.5,u\mu_2=0.5,\lambda_1=\lambda_2=0.5,g_1=-6,g_2=6$,第二边界条件的三弯矩方程为：

$\left[ \begin{matrix} 2 & \lambda_1 & & & \\ \mu_2 & 2 & \lambda_2 & & \\ ...&...&...&...&...\\ & & \mu_{n-2} & 2 & \lambda_{n-2} \\ & & & \mu_{n-1} & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} M_1 \\ M_2 \\ ... \\ M_{n-2}\\ M_{n-1} \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} g_1-\mu_1y''_0 \\ g_2 \\ ... \\ g_{n-2}\\ g_{n-1}-\lambda_{n-1}y_n'' \end{matrix} \right]\\$

得：

$\left[ \begin{matrix} 2 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} M_1 \\ M_2 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} -6-0.5\\ 6 \end{matrix} \right]$

解得 $M_1=\frac{-64}{15},M_2=\frac{61}{15}$

因为：

$S_i(x)=M_{i-1}\frac{(x_i-x)^3}{6h_i}+M_i\frac{(x-x_{i-1})^3}{6h_i}+\\\frac{1}{h_i}\left(y_{i-1}+\frac{1}{6}M_{i-1}h_i^2\right)(x_i-x)+\\\frac{1}{h_i}\left(y_{i}+\frac{1}{6}M_{i}h_i^2\right)(x-x_{i-1}),x\in[x_{i-1},x_i]\\$

将 $h_i=1,M_0=1,M_1,M_2$代入可得：

$x\in[0,1],S_1(x)=\frac{1}{90}(-79x^2+45x^3+124x)\\ x\in[1,2],S_2(x)=\frac{1}{90}(125x^3-567x^2+736x-204)\\ x\in[2,3],S_3(x)=\frac{1}{90}(-61x^3+549x^2-1496x+1284)$

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{持续更新}
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