GainDaily03/3,19

DFT 矩阵 与steering vector的对应关系

steering vector:

1. $\sin \theta$
   $a(\theta) = [1, e^{\frac{j2\pi d \sin \theta }{\lambda}},\cdots,e^{\frac{j2\pi(N-1)d \sin \theta }{\lambda}}]^T$
   –> $d=\lambda/2$—> $e^{-\frac{j2\pi (i-1)}{N}+j2k\pi} = e^{\frac{j2\pi d \sin \theta }{\lambda}}=e^{{j\pi \sin \theta }}$----> $-\frac{2(i-1)}{N}+2k= \sin \theta,i = 1,2,...,N，k=0,\pm1,\pm2 ...,$

当 $i=N/2+1$时， $\sin \theta = -1$
所以 $i$从1到 $i=N/2+1$时，角度变化从0到 $-\pi/2$到 $0$,
从 $i=N/2+2$到N时， $k=1$,角度从 $-\pi/2$ 到 $0$, 所以中间有 $\pi$的跳变
2. $\cos \theta$
$a(\theta) = [1, e^{\frac{j2\pi d \cos \theta }{\lambda}},\cdots,e^{\frac{j2\pi(N-1)d \cos \theta }{\lambda}}]^T$
–> $d=\lambda/2$—> $e^{-\frac{j2\pi (i-1)}{N}+j2k\pi} = e^{\frac{j2\pi d \cos \theta }{\lambda}}=e^{{j\pi \cos \theta }}$----> $-\frac{2(i-1)}{N}+2k= \cos\theta,i = 1,2,...,N，k=0,\pm1,\pm2 ...,$
当 $i=N/2+1$时， $\cos \theta = -1$
所以 $i$从1到 $i=N/2+1$时，角度变化从 $\pi$到 $\pi/2$
从 $i=N/2+2$到N时， $k=1$,值从1到0，角度从 $0$ 到 $\pi/2$, 所以中间有 $\pi/2$的跳变

Conclusion

DFT 矩阵每一列对应steering vector的某一方向，因此使用DFT矩阵来刻画mmwave信道角度域的稀疏性的时候，相当于给AoA和AoD域划分了格点，并且这个 划分的 AoA\AoD 按弧度（ $\sin \theta$的 $\theta$并不是均匀的，是按值域均匀划分的。

~~（Note: 许多东西不要想当然，要自己去推，主要是要练手）