特征多项式及Cayley-Hamilton定理

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学数学的时候，可能会接触到一个叫做特征根法，特征根方程的东西，当时不觉明历。
实际上这是和线性代数中的特征多项式离不开的。
学OI的时候，可能会接触到矩阵快速幂求解常系数齐次线性递推的东西，懂了但是只会当模板用。
实际上这也和特征多项式有着紧密的联系。
言归正传。
特征多项式是指对一个 $n$阶（转移）方阵 $A$ , $f(\lambda) = \det(\lambda E-A) = \lambda^N+b_1\lambda^{N-1}+b_2\lambda^{N-2}+...+b_{N-1}\lambda+b_N$是一个以 $\lambda$为自变量的 $n$次多项式。
Cayley-Hamilton定理指的是 $f(A) = 0 = A^N+b_1A^{N-1}+b_2A^{N-2}+...+b_{N-1}A+b_N$为化零多项式。为了方便记忆有一个著名的伪证: $f_A(A)=∣A−AE∣=0$
对于常系数线性递推
有 $A^{n}=\sum_{i=1}^{n-1}a_iA^{n-i}$
我们把 $A$看做变量，上面的就是方程。
我们可以把 $A^n$换成比n次幂小的一个多项式。
就相当于 $\mod g(A) = (A^n-\sum_{i=1}^{n-1}a_iA^{n-i})$
有了模之后我们就可以把 $A^x \mod g(A)$拿出来算就行了。
得到 $A^x = \sum_{i=0}^nc_iA^i$
然后就可以 $O(n^4)$算矩阵了。
把前 $n$项构成的行向量 $H_1$同时左乘于等式左右，可以得到：
$H_{x+1}=\sum_{i=0}^nc_iH_{i+1}$
现在是 $O(n^2)$
所以有:
$h_{x+1}=\sum_{i=0}^nc_ih_{i+1}$
就可以 $O(n)$了
但是不要忘了多项式模取幂是 $O(n^2\log x)$的暴力， $O(n\log n\log x)$的多项式FFT取模。
为了算一个矩阵的特征多项式，可以 $O(n^3)$,也可以 $O(n^4)$求值后用BM。。。