1791: [Ioi2008]Island 岛屿

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Description

你将要游览一个有N个岛屿的公园。从每一个岛i出发，只建造一座桥。桥的长度以Li表示。公园内总共有N座桥。尽管每座桥由一个岛连到另一个岛，但每座桥均可以双向行走。同时，每一对这样的岛屿，都有一艘专用的往来两岛之间的渡船。相对于乘船而言，你更喜欢步行。你希望所经过的桥的总长度尽可能的长，但受到以下的限制。 • 可以自行挑选一个岛开始游览。 • 任何一个岛都不能游览一次以上。 • 无论任何时间你都可以由你现在所在的岛S去另一个你从未到过的岛D。由S到D可以有以下方法： o 步行：仅当两个岛之间有一座桥时才有可能。对于这种情况，桥的长度会累加到你步行的总距离；或者 o 渡船：你可以选择这种方法，仅当没有任何桥和/或以前使用过的渡船的组合可以由S走到D（当检查是否可到达时，你应该考虑所有的路径，包括经过你曾游览过的那些岛）。注意，你不必游览所有的岛，也可能无法走完所有的桥。任务编写一个程序，给定N座桥以及它们的长度，按照上述的规则，计算你可以走过的桥的最大长度。限制 2 <= N <= 1,000,000 公园内的岛屿数目。 1<= Li <= 100,000,000 桥i的长度。

Input

• 第一行包含N个整数，即公园内岛屿的数目。岛屿由1到N编号。 • 随后的N行每一行用来表示一个岛。第i 行由两个以单空格分隔的整数，表示由岛i筑的桥。第一个整数表示桥另一端的岛，第二个整数表示该桥的长度Li。你可以假设对於每座桥，其端点总是位于不同的岛上。

Output

你的程序必须向标准输出写出包含一个整数的单一行，即可能的最大步行距离。注1：对某些测试，答案可能无法放进32-bit整数，你要取得这道题的满分，可能需要用Pascal的int64或C/C++的long long类型。注2：在比赛环境运行Pascal程序，由标准输入读入64-bit数据比32-bit数据要慢得多，即使被读取的数据可以32-bit表示。我们建议把输入数据读入到32-bit数据类型。评分 N不会超过4,000。

Sample Input

7
3 8
7 2
4 2
1 4
1 9
3 4
2 3

Sample Output

HINT

Source

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题解

就是求基环森林中的每棵基环树的直径之和，重点是求基环树直径。基环树可以看做是一个环，环上的一些点向外连了一棵树(我们可以称这些基环树里的小树为外向树)。

而基环树的直径有两种可能：

直径的两端都在同一棵外向树中，即基环树的直径就是这棵外向树的直径。
2/ 直径的两端分别在两棵外向树中，直径绕过环的一部分(也有可能端点在环上，可以看做这个端点在只有一个点的外向树的根节点处)。

对于第1种情况，用拓扑排序做，避免爆栈问题。注意dp更新的顺序。
对于第2种情况，拆环为链复制一倍，然后用单调队列优化。

时间复杂度\(O(n)\)

#include<bits/stdc++.h>
#define rg register
#define il inline
#define co const
template<class T>il T read(){
    rg T data=0,w=1;rg char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())if(ch=='-') w=-w;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar()) data=data*10+ch-'0';
    return data*w;
}
template<class T>il T read(rg T&x) {return x=read<T>();}
typedef long long ll;
using namespace std;

co int N=1e6+1;
int Head[N],Edge[N*2],Leng[N*2],Next[N*2],tot;
int n,du[N],c[N],q[N*2];
ll f[N],d[N],a[N*2],b[N*2],ans;
bool v[N];

il void add(int x,int y,int z){
    Edge[++tot]=y,Leng[tot]=z,Next[tot]=Head[x],Head[x]=tot;
    ++du[y];
}
void bfs(int s,int t){ // dye
    int l=1,r=1;
    c[q[1]=s]=t;
    while(l<=r){
        for(int i=Head[q[l]];i;i=Next[i])
            if(!c[Edge[i]]) c[q[++r]=Edge[i]]=t;
        ++l;
    }
}
void topsort(){ // in tree
    int l=1,r=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(du[i]==1) q[++r]=i;
    while(l<=r){
        for(int i=Head[q[l]];i;i=Next[i])
            if(du[Edge[i]]>1){ // not all updated
                d[c[q[l]]]=max(d[c[q[l]]],f[q[l]]+f[Edge[i]]+Leng[i]);
                f[Edge[i]]=max(f[Edge[i]],f[q[l]]+Leng[i]);
                if(--du[Edge[i]]==1) q[++r]=Edge[i];
            }
        ++l;
    }
}
void dp(int t,int x){ // in circle
    int m=0,y=x,k,z=0;
    do{
        a[++m]=f[y];
        du[y]=1;
        for(k=Head[y];k;k=Next[k])
            if(du[Edge[k]]>1){
                b[m+1]=b[m]+Leng[k];
                y=Edge[k];
                break;
            }
    }while(k);
    if(m==2){
        for(int i=Head[y];i;i=Next[i])
            if(Edge[i]==x) z=max(z,Leng[i]);
        d[t]=max(d[t],f[x]+f[y]+z);
        return;
    }
    for(int i=Head[y];i;i=Next[i])
        if(Edge[i]==x){
            b[m+1]=b[m]+Leng[i];
            break;
        }
    for(int i=1;i<m;++i){
        a[m+i]=a[i];
        b[m+i]=b[m+1]+b[i];
    }
    int l=1,r=1;
    q[1]=1;
    for(int i=2;i<m<<1;++i){
        if(l<=r&&i-q[l]>=m) ++l;
        d[t]=max(d[t],a[i]+a[q[l]]+b[i]-b[q[l]]);
        while(l<=r&&a[q[r]]-b[q[r]]<=a[i]-b[i]) --r;
        q[++r]=i;
    }
}
int main(){
    read(n);
    for(int x=1,y,z;x<=n;++x){
        read(y),read(z);
        add(x,y,z),add(y,x,z);
    }
    int t=0;
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(!c[i]) bfs(i,++t);
    topsort();
    for(int i=1;i<=n;++i)
        if(du[i]>1&&!v[c[i]]){
            v[c[i]]=1;
            dp(c[i],i);
            ans+=d[c[i]];
        }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

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