hdu5784 极角排序+two point

题意：

给定平面内若干点，要求求出这些点组成的三角形中锐角三角形的个数。

思路：

锐角三角形，即这个三角形中不存在直角或者钝角。所以现在的思路是不断枚举三个点，看他们之间组成的角度在什么范围内，这样的复杂O（n*n*n），时限内肯定不能通过。对于二维平面的向量，用点积和叉积可以较为方便的判断他们之间的角度。

由于 锐角三角形个数=三角形个数-直角个数-顿角个数

可以考虑枚举每一个点，以这个点为参考点，对这个点和其他点组成的向量进行极角排序，这个在一个相对有序的向量之间，判断两两之间的角度就可以优化了，存在二分的two point两种优化方法，two point较为好写。如何尺取呢？由于向量之间有序，对于某个向量i，用p1取到最大的钝角，p2取到最大的锐角，p1-p2就是这些向量与i成直角和钝角的个数了。然后i->i+1,此时的p1和p2可以保持不动，two point 为O（n)。由于第四象限的向量和第一象限可以组成锐角，需要把排序的向量数组首尾连接。

对于极角相同向量，不能构成三角形，只需要遍历向量数组，找到重复的个数。由于n次遍历存在重复，最后要取一半。

最后总的时间复杂度为O（n*n*logn）。

代码：

 1 #include <iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cmath>
 4 #define ll long long
 5 using namespace std;
 6 const int N=2005;
 7 const double pi=acos(-1.0);
 8 struct point{
 9   ll x,y;
10 }po[N];
11 double p[2*N];
12 int n;
13 int main()
14 {
15     cout<<atan2(1,1)<<" :atan(1,1)"<<endl;
16     cout<<atan2(-1,1)<<" :atan(-1,1)"<<endl;
17     cout<<atan2(-1,-1)<<" :atan(-1,-1)"<<endl;
18     cout<<atan2(1,-1)<<" :atan(1,-1)"<<endl;
19    while(~scanf("%d",&n)){
20         ll ans=1LL*n*(n-1)*(n-2)/6;
21         ll temp=0;
22     for(int i=0;i<n;i++){
23         scanf("%lld%lld",&po[i].x,&po[i].y);
24     }
25     for(int i=0;i<n;i++){
26         int cnt=0;
27         for(int j=0;j<n;j++){
28             if(i!=j)p[cnt++]=atan2(po[j].y-po[i].y,po[j].x-po[i].x);
29             if(p[cnt-1]<0)p[cnt-1]+=2*pi;
30         }
31         sort(p,p+cnt);
32         for(int j=0;j<cnt;j++)p[j+cnt]=p[j]+2*pi;
33 
34    ll num=0;
35     for(int j=1;j<cnt;j++){
36         if(p[j]==p[j-1])num++;
37         else num=0;
38         temp+=num;
39     }
40     int p1=0,p2=0;
41     for(int j=0;j<cnt;j++){
42         while(p1<=j||(p1<2*cnt&&p[p1]-p[j]<pi))p1++;
43         while(p2<j||(p2<2*cnt&&p[p2]-p[j]<pi/2))p2++;
44         ans-=p1-p2;
45     }
46     }
47     cout<<ans-temp/2<<endl;
48    }
49     return 0;
50 }