When does a digraph admit a doubly stochastic adjacency matrix
Doubly Stochastic:
对于每一个节点，如果输入权重和输出权重都等于1，那么就是双随机的有向图。简而言之，如果允许双重随机邻接矩阵的有向图，称为具有双重随机性质。
双重随机性是图中非常良好的性质，并以此展开大量的研究。事实上，这种要求还是比较苛刻的，因此很多算法都在进一步的寻求避免对双重随机性的需要。
Notations:
一个有向图的表示 \(G=(V,E)\)，\(V\)是有限的集称为顶点集，\(E\subseteq V \times V\)是边集。
如果每个顶点都有相同数量的邻居，我们称这个无向图是正则的。
令\(E^-\subseteq V\times V\)表示改变\(E\)的元素的顺序后的结果，如果\((u,v)\in E\)，那么\((v,u)\in E^-\). 图\(\bar{G}=(V,E\cup E^-)\)称为图\(G\)的镜像。
加权有向图(digraph)用\(G=(V,E,A)\)表示，其中\((V,E)\)表示有向图，\(A\in R^{n\times n}\)是邻接矩阵。
那么一个加权有向图是如何合并的？
设\(G_1=(V_1,E_1,A_1)\)，\(G_2=(V_2,E_2,A_2)\)，那么\(G_1\cup G_2=(V_1\cup V_2, E_1 \cup E_2, A)\),其中
$$A|_{V_1\cap V_2} =A_1|_{V_1\cap V_2}+A_2|_{V_1\cap V_2} $$
$$A|_{V_1 / V_2}=A_1,A|_{V_1 / V_2}=A_2$$
对于有向带权图，带权的出度和入度可以表示为
$$d^w_{out}(v_i)=\sum^n_{j=1}a_{ij},\qquad d^w_{in}(v_i)=\sum^n_{j=1}a_{ij}$$
平衡图:
一个矩阵 如果\(\sum^n_{i=1}a_{ij}=\sum^n_{j=1}a_{ji}\)，那么这是一个权重平衡图。
置换矩阵(permutation matrix)：每一行和每一列仅有一个\(1\).
值得注意的是，当且仅当每一个节点\(d^w_{in}(v)=d^w_{out}(v)\),才是权重平衡图，也就是双随机邻接图。
权重平衡图的结论:
结论1
如果一个图是权重平衡图，当且仅当它可以分解成多个权重平衡图的。
> 如果\(E=E_1\cup E_2 \cup \cdots \cup E_k\)，那么每一个子图\(G=(V,E_i)\)也是权重平衡图。
结论2
对于一个有向图，以下表述是等价的。
--边集中每一个元素处在一个循环中。
--\(G\)是权重平衡的。
--\(G\)是强半连通的(strongly semiconnected).
注意强连通和强半连通：
- 如果任何不同的顶点之间都存在路径，那么就是强连通的；
- 如果存在从\(w\)到\(v\)的路径，就一定有从\(v\)到\(w\)的路径，那么这个图就是强半连通的。
显而易见，强连通包含强半连通。
问题陈述:
所有的双随机性的图都是权重平衡矩阵，因此双随机的必要条件就是强半连通性(strong semiconnectedness)。
其次，可以双重随机化的 权重平衡图 不能有孤点。
定理:
一个强半连通有向图是双随机的当且仅当它所有的强连通部分是双随机的。
权重平衡矩阵和双随机邻接矩阵的关系
\(Irr(R^{n\times n}_{\ge 0})\)表示不可约矩阵。其中，一个权重有向图是强连通的当且仅当其邻接矩阵是不可约的。
不可约矩阵，如果存在一个矩阵$P$使得$P^{'}AP$为一个分块上三角阵，就称\(A\)可约。也有定理：与矩阵A对应的有向图是强连通的，则不可约。
定理
如果\(A\)是一个有向平衡图，且是不可约的，那么当且仅当\(\sum^n_{l=1}=C\)，对每一个$i$都成立，则其对应的图是双随机的。
推论
任何强连通的有向图都可以在加上一定数量的自循环后变成双随机的。
推论
所有的无向正则图都是双随机的。
--所有顶点都有相同数量的邻居的图称为正则图。
定理
关于 \(G_{cyc}\)的扩展邻接矩阵是一个置换矩阵，当且仅当\(G_{cyc}\)包含了\(G\)所有的顶点。