超全面的线段树：从入门到入坟

\(Pre\)：其实线段树已经学了很久了，突然线段树这个数据结构比较重要吧，现在想写篇全面的总结，帮助自己复习，同时造福广大\(Oier\)（~~虽然线段树的思维难度并不高~~）。本篇立志做一篇最浅显易懂，最全面的线段树讲解，采用\(lyd\)写的《算法竞赛进阶指南》上的顺序，从最基础的线段树到主席树，本篇均会涉及，并且附有一定量的习题，以后可能会持续更新，那么现在开始吧！

更新日志

5.11 update：修改部分字词，基本原理30%完成，大纲完成。
5.4 update：基本原理20%完成。

线段树想\(AC\)之基本原理

什么是线段树啊？

首先，你得有树的基本知识。

然后。

以下内容摘自百度百科

线段树是一种二叉搜索树，与区间树相似，它将一个区间划分成一些单元区间，每个单元区间对应线段树中的一个叶结点。
对于线段树中的每一个非叶子节点[a,b]，它的左儿子表示的区间为[a,(a+b)/2]，右儿子表示的区间为[(a+b)/2+1,b]。因此线段树是平衡二叉树，最后的子节点数目为N，即整个线段区间的长度。

很懵？没关系，我们继续。

其实，线段树（\(Segment\) \(Tree\)）是一种基于分治思想的二叉树结构，（Q1：为什么一定是二叉？）如果你学过树状数组，你会清楚地知道两者的差异性，并且随着学习的深入，你会发现线段树是一种更为通用的数据结构。

最基本的线段树包含以下几个概念：

线段树每个节点表示一个区间
线段树的唯一根节点表示整个区间统计范围，如[\(1,N\)]。
线段树的每个叶节点表示一个长度为\(1\)的元区间，如[\(x,x\)]。
线段树上的每个节点[\(l,r\)]，它的左子节点是[\(l,mid\)]，右子节点是[\(mid+1,r\)]，其中\(mid=(l+r)/2\)（这是线段树的标准写法，也有其他不同的写法，但作为初学者，还是从标准入手好）。

如图，这就是一棵线段树。我们可以发现，当整个区间统计长度为\(2\)的整数次幂时，整棵线段树一定是一棵完全二叉树（Q2：为什么），那我们就可以用堆的编号方法来给线段树来编号啊（其实图中已经编好了）。

即：

根节点编号为\(1\)。
编号为\(x\)的节点，它的左儿子编号为\(x*2\)，右儿子编号为\(x*2+1\)。

这样，我们就可以用一个数组来存所有节点的编号了！
至于正确性，，，既然你都学到线段树了，那就不用我说了吧。。。

诶等等，那万一整个区间长度不是\(2\)的整数次幂呢？

看这张图！

可以惊讶地发现，我们同样可以使用父子二倍标记法。正确性显然，只不过，正是因为这种情况，所以树的最后一层节点编号在数组中的位置可能不是连续的。

如果区间长度为\(N\)，在最理想的状况下，即\(N\)是\(2\)的整数次幂时，\(N\)个叶节点的满二叉树有\(N+N/2+N/4+...+1=2N-1\)个节点。只要不是这种情况，那就还有一层，所以我们保存线段树节点编号的数组长度要大于等于\(4N\)。

于是线段树信息储存如下：

struct SegmentTree {
    int l, r;//每个区间左右端点
    int dat;//区间数据
    //其他一些附加信息
}sak[4*MAX];

当然，线段树的写法多种多样，这是最稳的一种，还有一种是记录左右儿子编号的，后面我们再说，\(zkw\)线段树就不介绍了吧。。。

建树

我们需要从根节点“\(1\)”出发，向下递归建树，并把每个节点所代表的区间赋给它。当到达了根节点，便传值，再向上维护信息。

以维护区间和为例，我们可以这样建树：

inline void build(int p, int l, int r) {
    sak[p].l = l, sak[p].r = r;
    if (l == r) {//叶节点赋值
        sak[p].sum = a[l];
        return;
    }
    int mid = (l + r) / 2;
    build(2*p, l, mid);//递归建左儿子树
    build(2*p + 1, mid + 1, r);//递归建右儿子树
    sak[p].sum = sak[2*p].sum + sak[2*p + 1].sum;//向上传递区间和的信息
}

单点修改

显然，每次操作，我们都需要从根节点开始遍历，递归找到需要修改的叶子节点，然后修改，然后向上传递信息。（Q3：正确性）

inline void change(int p, int x, int val) {
    if (sak[p].l == sak[p].r) { sak[p].sum = val; return; }//找到x位置
    int mid = (l + r) / 2;
    if (x <= mid) change(p*2, x, val)
    else change(p*2+1, x, val);
    sak[p].sum = sak[2*p].sum + sak[2*p + 1].sum;//向上传递区间和的信息

因为整棵树的深度是\(logN\)，所以单次修改的时间复杂度为\(O(logN)\)。

区间查询

这里直接给出算法过程，正确性显然。

若当前节点所表示的区间已经被询问区间所完全覆盖，则立即回溯，并传回该点的信息。
若当前节点的左儿子所表示的区间已经被询问区间所完全覆盖，就递归访问它的左儿子。
若当前节点的右儿子所表示的区间已经被询问区间所完全覆盖，就递归访问它的右儿子。

以返回区间和为例：

inline ll ask(int p, int l, int r) {
    if (l <= sak[p].l && r >= sak[p].r) {//对应1操作
        return sak[p].sum;
    }
    pushdown(p);
    ll val = 0;
    int mid = (sak[p].l + sak[p].r) / 2;
    if (l <= mid) val += ask(2*p, l, r);//对应2操作
    if (r > mid) val += ask(2*p + 1, l, r);//对应3操作
    return val; 
}

【例题】Can you answer on these queries 3

【习题】Interval GCD

Q&A

A1：你都看到这里了，就不用我说了吧。
A2：图+\(YY\)一下，无需多说。
A3：修改的节点只包含在递归时经过的区间中，所以只会对递归时经过的区间产生影响。