问题如下：
输入两个正整数m和n，求其最大公约数和最小公倍数。
回顾一下相关概念：
首先是约数和倍数：如果数a能被数b整除（a/b无余数），a就叫做b的倍数，b就叫做a的约数。约数和倍数都表示一个整数与另一个整数的关系，不能单独存在。如只能说16是某数的倍数，2是某数的约数，而不能孤立地说16是倍数，2是约数。
最大公约数：即最大公因子，指两个或多个整数共有约数中最大的一个；a、b的最大公约数记为（a，b），同样的，a，b，c的最大公约数记为（a，b，c）；
最小公倍数：与最大公约数相对，a、b的最小公倍数记作[a,b]；（每个因子的乘积 / 最大公约数 = 最小公倍数）
求最大公约数有多种方法，常见的有质因数分解法、短除法、辗转相除法、更相减损法
质因数分解法 >> 分解质因数
把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最大公约数；全部公有的质因数和独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数；
如 8 -> {2，2，2}，12 -> {2，2，3} ，公有两个2，故最大公约数为2x2，
代码如下：
/**
* greatest common divisor 最大公约数
* least common multiple 最小公倍数
*/
public static void main(String[] args) {
Scanner s = new Scanner(System.in);
String x = s.nextLine();
int m = Integer.parseInt(x.split(" ")[0]);
int n = Integer.parseInt(x.split(" ")[1]);
int mul = m*n;
System.out.println("最大公约数是" +gcd(m,n) );
System.out.println("最小公倍数是" +mul/gcd(m,n) );
}
static int gcd(int m,int n){
int gcd = 1;
List<Integer> list1 = getDecomposedPrimeList(m);
//去除list1中重复元素
HashSet<Integer> h = new HashSet<Integer>(list1);
list1.clear();
list1.addAll(h);
List<Integer> list2 = getDecomposedPrimeList(n);
//看list2中有多少和list1中元素重复的，将重复的相乘
for(Integer lt1 : list1){
for(Integer lt2 : list2){
if(lt1 == lt2){
gcd *= lt1;
}
}
}
return gcd;
}
public static List<Integer> getDecomposedPrimeList(Integer n){
List<Integer> list = new ArrayList<Integer>();
for(int i = 2; i <= Math.sqrt(n); i++){
while(n % i == 0){
n = n/i;
list.add(i);
}
}
list.add(n);
return list;
}
辗转相除法， 又名欧几里德算法（Euclidean algorithm）
定理：两个整数的最大公约数等于其中较小的那个数和两数相除余数的最大公约数。最大公约数（Greatest Common Divisor）缩写为GCD。gcd(a,b) = gcd(b,a mod b) (不妨设a>b 且r=a mod b ,r不为0) -> 若 a,b 且 a = bh + r，其中 h,r，则 gcd(a,b) = gcd(b,r)
用较大数除以较小数，再用出现的余数（第一余数）去除除数，再用出现的余数（第二余数）去除第一余数，如此反复，直到最后余数是0为止。最后的除数就是这两个数的最大公约数。
代码如下：
/**
* greatest common divisor 最大公约数
* least common multiple 最小公倍数
*/
public static void main(String[] args) {
Scanner s = new Scanner(System.in);
String x = s.nextLine();
int m = Integer.parseInt(x.split(" ")[0]);
int n = Integer.parseInt(x.split(" ")[1]);
int mul = m*n;
System.out.println("最大公约数是"+gcd(m,n));
System.out.println("最小公倍数是"+mul/gcd(m,n));
}
public static int gcd(int m, int n){
while (true){
if ((m = m % n) == 0)
return n;
if ((n = n % m) == 0)
return m;
}
}结果：
