p3807(lucas定理）

题目链接：https://www.luogu.org/problemnew/show/P3807

题意:求C(n,n+m)%p

思路：这是Lucas模板题，下面就介绍下lucas定理：

lucas定理(大组合数取模)结论:
　　　　　　C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

证明：

前提定理：1.设1<=j<=p-1,都有C(j,p)≡0(mod p)

证明：C(j,p)=p!/(j!*(p-j)!)=(p/j)*  (p-1)!/((j-1)!*((p-1)-(j-1))!=(p/j)*C(j-1,p-1)≡0(mod p)

　　　　2.(1+x)^p=1+C(1,p)x+C(2,p)x²+...+C(p-1,p)x^p-1+x^p≡1+x^p(mod p)(根据定理1得）
　　因为m=(m/p)*p+m%p;(m/p是商，m%p是余数）

      (1+x)^m=(1+x)^m/p*p * (1+x)^m%p≡(1+x^p)^m/p*(1+x)^m%p
两边系数要同余
所以两边xⁿ系数:
C（n，m）≡C(n/p,m/p)*(n%p,m%p)(mod p)

扫描二维码关注公众号，回复： 6179684 查看本文章

代码求解过程中，不断将C(n/p,m/p)拆分化简，实质是一直在计算C(n%p,m%p)，即：
C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p
等价于C(n,m)%p=C(n/p/p,m/p/p)*C(n/p%p,m/p%p)%p
等价于C(n,m)%p=C(n/p/p/p,m/p/p/p)*C(n/p/p%p,m/p/p%p)%p
等价于…
直到拆分至m=0，递归完成。

代码：

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
typedef long long ll;

ll q_pow(ll a,ll b,ll p)//快速幂用来求逆元 
{
    ll ans=1;
    while(b) 
    {
        if(b&1)
            ans=(ans*a)%p;
        a=(a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}

ll comb(ll a,ll b,ll p)//求组合数 
{
    if(a<b)    return 0;
    if(b==a) return 1;
    if(b>a-b) b=a-b;
    ll ans=1,ca=1,cb=1;
    for(int i=0; i<b; i++) 
    {
        ca=(ca*(a-i))%p;
        cb=(cb*(b-i))%p;
    }
    ans=(ca*q_pow(cb,p-2,p))%p;
    return ans;
}

ll lucas(ll a,ll b,ll p)//lucas 
{
    ll ans=1;
    while(a&&b&&ans) 
    {
        ans=(ans*comb(a%p,b%p,p))%p;
        a/=p;
        b/=p;
    }
    return ans%p;
}

int main() 
{
    ll t,n,m,p;
    cin>>t;
    while(t--) 
    {
        cin>>n>>m>>p;
        cout<<lucas(n+m,n,p)<<endl;
    }
    return 0;
}