题目背景
这是一道模板题。
题目描述
给定n,m,p( 1≤n,m,p≤105 )
求C(m,n+m) mod p
保证P为prime
C表示组合数。
一个测试点内包含多组数据。
输入输出格式
输入格式:
第一行一个整数T( T≤10 ),表示数据组数
第二行开始共T行,每行三个数n m p,意义如上
输出格式:
共T行,每行一个整数表示答案。
输入输出样例
输入样例#1:
2
1 2 5
2 1 5
输出样例#1:
3
3
首先这道题除考察lucas定理外,还给了我们一个O(1)询问,O(n)预处理的组合数取模运算的方法。
对于组合数取模的运算,我们考虑把它转化为:!n*inv(!m)*inv(!n-m)%p,所以可以处理一个a数组a[i],表示!i%p的值,处理一个b数组b[i]表示inv(!i)(inv表示逆元),那么上面的运算就可以转化为a[n]*b[m]*b[n-m]%p。下面的问题就是怎么处理这两个数组,a数组就是阶乘数组,比较容易求;而b数组其实也相同,即b[i] = b[i-1]*inv[i] = inv[!i-1]*inv[i] = inv[1]*inv[2]*inv[3]*......*inv[i-1]*inv[i],可见只要处理出inv数组,然后就可以按照求阶乘的方法处理出b数组,注意这里inv[!i-1]=inv[1]*inv[2]*inv[3]*......*inv[i-1]是可以证明的,类比倒数即可。复杂度O(n)。询问时只需a[n]*b[m]*b[n-m]%p即可,复杂度O(1)。
关于inv数组的处理:https://blog.csdn.net/qq_38234381/article/details/81513989
由于这样我们只能进行小于p范围内的运算,所以这里就需要lucas定理的帮助,lucas定理的内容:
这样询问最多logn,也是很快的。
CODE:
#include<iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 2e5+10;
ll T, p;
ll a[N], b[N], inv[N];
void init(int n, int m) {
ll i;
a[1] = 1;
for (i = 2; i <= n+m; i++)
a[i] = i*a[i-1]%p;
inv[1] = 1;
for (i = 2; i < p; i++)
inv[i] = (p-p/i)*inv[p%i]%p;
b[0] = 1;//当m为零或m==n的情况时会用到
b[1] = 1;
for (i = 2; i < p; i++)
b[i] = b[i-1]*inv[i%p]%p;
return ;
}
ll c(ll m, ll n) {
if (m > n) return 0;
if (m >= p || n-m >= p) return c(m/p, n/p)*c(m%p, n%p)%p;//lucas定理实现
else return a[n]*b[m]*b[n-m]%p;
}
int main() {
cin >> T;
while (T--) {
ll n, m;
cin >> n >> m >> p;
init(n, m);
cout << c(m, n+m)%p << endl;
}
return 0;
}