算法训练矩阵乘方矩阵的快速幂

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问题描述

　　给定一个矩阵A,一个非负整数b和一个正整数m，求A的b次方除m的余数。
　　其中一个nxn的矩阵除m的余数得到的仍是一个nxn的矩阵，这个矩阵的每一个元素是原矩阵对应位置上的数除m的余数。
　　要计算这个问题，可以将A连乘b次，每次都对m求余，但这种方法特别慢，当b较大时无法使用。下面给出一种较快的算法(用A^b表示A的b次方)：
　　若b=0，则A^b%m=I%m。其中I表示单位矩阵。
　　若b为偶数，则A^b%m=(A^(b/2)%m)^2%m，即先把A乘b/2次方对m求余，然后再平方后对m求余。
　　若b为奇数，则A^b%m=(A^(b-1)%m)*a%m，即先求A乘b-1次方对m求余，然后再乘A后对m求余。
　　这种方法速度较快，请使用这种方法计算A^b%m，其中A是一个2x2的矩阵，m不大于10000。

分析：一个矩阵的n次方，和一个整数的n次方一样，使用快速幂的方法求解即可。但是矩阵乘法运算要自己实现，答案要初始化为单位矩阵（和整数乘方初始化为1一样）。

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int N = 2; 
int a[N][N], ans[N][N];
 
void MatrixMult(int x[][N],int y[][N],int m){
	int t[N][N] = {};
	for(int i = 0; i < N; i++)
		for(int j = 0; j < N; j++)
			for(int k = 0; k < N; k++)
				t[i][j] = (t[i][j] + x[i][k]*y[k][j]) % m;
	memcpy(x,t,sizeof(t));
}
 
int main(int argc, char** argv) {
	int b, m;
	scanf("%d%d",&b,&m);
	for(int i = 0; i < N; i++)
		for(int j = 0; j < N; j++)
			scanf("%d",&a[i][j]);
	for(int i = 0; i < N; i++) //initialize unit matrix
		ans[i][i] = 1;	
	while(b > 0){
		if(b % 2 == 1)	MatrixMult(ans,a,m); //odd	
		b /= 2;
		MatrixMult(a,a,m);
	}
	for(int i = 0; i < 2; i++){
		for(int j = 0; j < 2; j++)
			printf("%d ",ans[i][j]%m);
		printf("\n");
	}
	return 0;
}

输入格式

　　输入第一行包含两个整数b, m，第二行和第三行每行两个整数，为矩阵A。

输出格式

　　输出两行，每行两个整数，表示A^b%m的值。

样例输入

2 2
1 1
0 1

样例输出

1 0
0 1

算法训练 矩阵乘方 矩阵的快速幂

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