组合数求计算总结（模板）

一.一般粗暴法

用普通的组合公式来算

当求C(n,m)%MOD时容易超范围，因为这种方法计算有除法，不能边做边MOD.

优点：复杂度O(n)，缺点只能求n,m极小的情况。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const ll MOD = 1e9 + 7;
ll cal(int n,int m)
{
	ll ans=1;
	for(int i=n;i>=n-m+1;i--)
	{
		ans*=(ll)i;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		ans/=(ll)i;
	}
	return ans%MOD;
}
int main()
{
	int n,m;
	while(~scanf("%d%d",&n,&m))
	printf("%lld\n",cal(n,m));
	return 0;
}

二.杨辉三角法

首先介绍一下杨辉三角法公式

C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)

复杂度O（n^2），但由于是加法，可以边做边MOD，保证数字不会超限。

#include<cstdio>
const int N = 2000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
long long comb[N][N];//comb[n][m]就是C(n,m)
void init()
{
    for(int i = 0; i < N; i ++)
	{
        comb[i][0] = comb[i][i] = 1;
        for(int j = 1; j < i; j ++)
		{
            comb[i][j] = comb[i-1][j] + comb[i-1][j-1];
            comb[i][j] %= MOD;
        }
    }
}
int main()
{
    init();
    int n,m;
    while(~scanf("%d%d",&n,&m))
    printf("%d\n",comb[n][m]); 
}

三.LUCAS定律

LUCAS定律：C(n,m)%p=C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p)%p

证明：

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最后一步的得出详见https://blog.csdn.net/qq_40679299/article/details/80489761（其实不难，自己也可以一眼看出来）

总条件：p为质数，p为非质数时可以用扩展卢卡斯定律，但这里不讨论！

模板一.适用于n,m，p较大的情况，复杂度大概为O(mlogn)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const ll p = (ll)1e9 + 7;
ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
    ll ans = 1;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
        b /= 2;
        a = (a % m) * (a % m) % m;
    }
    ans %= m;
    return ans;
}
ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元，p为素数
{
    return pow(x, p - 2, p);
}
ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
{
    if(m > n)return 0;
    ll up = 1, down = 1;//分子分母;
    for(int i = n - m + 1; i <= n; i++)up = up * i % p;
    for(int i = 1; i <= m; i++)down = down * i % p;
    return up * inv(down, p) % p;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
    if(m == 0)return 1;
    return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}
int main()
{
	long long n,m;	
	while(~scanf("%lld%lld",&n,&m))
	{
		printf("%lld\n",Lucas(n,m,p));
	}
	return 0;
}

模板二，打表版，适用于n,m较大，p<10^6情况。复杂度为O(logn)

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 10;
const ll p = (ll)13;
ll fac[maxn];//阶乘打表
void init(ll p)//此处的p应该小于1e5，这样Lucas定理才适用
{
    fac[0] = 1;
    for(int i = 1; i <= p; i++)
        fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
}
ll pow(ll a, ll b, ll m)
{
    ll ans = 1;
    a %= m;
    while(b)
    {
        if(b & 1)ans = (ans % m) * (a % m) % m;
        b /= 2;
        a = (a % m) * (a % m) % m;
    }
    ans %= m;
    return ans;
}
ll inv(ll x, ll p)//x关于p的逆元，p为素数
{
    return pow(x, p - 2, p);
}
ll C(ll n, ll m, ll p)//组合数C(n, m) % p
{
    if(m > n)return 0;
    return fac[n] * inv(fac[m] * fac[n - m], p) % p;
}
ll Lucas(ll n, ll m, ll p)
{
    if(m == 0)return 1;
    return C(n % p, m % p, p) * Lucas(n / p, m / p, p) % p;
}
int main()
{
	ll n,m;
	init(p);	
	while(~scanf("%lld%lld",&n,&m))
	{
		printf("%lld\n",Lucas(n,m,p));
	}
	return 0;
}