算法笔试题：1元，5元，10元，20元，50元、100元面值人民币组合给定x元的问题

最近有一道笔试题引起了小伙伴们的激烈讨论。

参考博客

作为算法菜鸟非常感谢大神的分析和举例。博客地址

问题描述

目前市面上的纸币主要有1元，5元，10元，20元，50元、100元六种，如果要买一件商品x元，有多少种货币组成方式？

思路一

现有6种面额的纸币用来组合成给定的x元金额。那么可以大致推出这个等式
sum 表示给定的金额
{x1, x2, x3, x4, x5, x6}分别表示1元，5元，10元，20元，50元、100元的张数

$sum=x1∗1+x2∗5+x3∗10+x4∗20+x5∗50+x6∗100sum=x1∗1+x2∗5+x3∗10+x4∗20+x5∗50+x6∗100 sum = x1 * 1 + x2 * 5 + x3 * 10 + x4 * 20 + x5 * 50 + x6 * 100$ $s u m = x 1 * 1 + x 2 * 5 + x 3 * 10 + x 4 * 20 + x 5 * 50 + x 6 * 100$

如此看来其实就是求解满足这个等式的 {x1, x2, x3, x4, x5, x6} 的所有可能的个数。
可以通过循环来依次确定每种面额的纸币有多少张，最终来判断，不同张数的组合最终是否等于x元。
于是有了如下代码：

public class Demo1 {

    /**
     * @param x 商品金额
     */
    public static void test1(int x){
        int sum = 0;
        //符合条件的组合次数
        int count = 0;
        //循环次数
        int times = 0;
        //硬币面额
        int[] a = {1, 5, 10, 20, 50, 100};

        for (int i = 0; i <= x / a[5]; i++) {
            //100元可能出现的张数
            for (int j = 0; j <= x / a[4]; j++) {
                //50元可能出现的张数
                for (int k = 0; k <= x / a[3]; k++) {
                    //20元可能出现的张数
                    for (int l = 0; l <= x / a[2]; l++) {
                        //10元可能出现的张数
                        for (int m = 0; m <= x / a[1]; m++) {
                            //5元可能出现的张数
                            //for(int n=0;n<x/1;n++){//这步循环可省略
                            int n = x - (i * a[5] + j * a[4] + k * a[3] + l * a[2] + m * a[1]);
                            sum = i * a[5] + j * a[4] + k * a[3] + l * a[2] + m * a[1] + n * a[0];
                            times++;
                            if (sum == x && n >= 0) {
                                count++;
                            }
                            //}
                        }
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println("循环次数：" + times);
        System.out.println("组合数：" + count);
    }

    public static void main(String[] args) {
        long startTime = System.currentTimeMillis();
        //指定200元的金额
        test1(200);
        long endTime = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("执行时间：" + (endTime - startTime) + "ms");
    }
}

执行结果如下：

循环次数：142065
组合数：3274
执行时间：13ms

结果分析

这种解决方式虽然可以得到正确的结果，但是计算量很大，循环次数随着指定的金额增大会越来越高。性能也就非常差，基本上数字超过1000，就是无脑循环了。所以这并不是最优解。

思路二

从上面的分析中我们也可以这么考虑，我们希望用m种纸币构成sum元。

$sum=x1∗V1+x2∗V2+...+xm∗Vmsum=x1∗V1+x2∗V2+...+xm∗Vm sum = x1 * V1 + x2 * V2 + ... + xm * Vm$ $d p [i] [s u m] = k = 0 \sum s u m / v m d p [i - 1] [s u m - K * V m]$

通过此公式，我们可以看到问题被一步步缩小，那么初始情况是什么呢？如果sum=0，那么无论有前多少种来组合0，只有一种可能，就是各个系数都等于0；

dp[i][0] = 1 // i = 0, 1, 2, … , m

如果我们用二位数组表示dp[i][sum], 我们发现第i行的值全部依赖与i-1行的值，所以我们可以逐行求解该数组。如果前0种纸币要组成sum，我们规定为dp[0][sum] = 0.

第二种代码实现方式

public class Demo1 {

    /**
     * @param x 商品金额
     */
    public static void test2(int n){
        //纸币面额
        int money[]={1,5,10,20,50,100};
        int dp[] = new int[n+1];
        dp[0] = 1;
        for(int i = 0;i < 6;++i){
            for(int j = money[i];j <= n;++j){
                dp[j] =(dp[j]+dp[j-money[i]]);
            }
        }
        System.out.println(dp[n]);
    }
    public static void main(String[] args) {
        long startTime = System.currentTimeMillis();
        //指定200元的金额
        test2(200);
        long endTime = System.currentTimeMillis();
        System.out.println("执行时间：" + (endTime - startTime) + "ms");
    }
}

执行结果如下

3274
执行时间：0ms

分析

这种思路属于算法中的动态规划。也是动态规划的经典题目。很明显，大大优化了思路一的性能问题。