今天做了中金所的笔试题，被一道题卡住了。题目意思是：
用10元，20元，50元三种币值的纸币凑出1000元，一共有多少种组合？
当时一眼看上去分析了一下，以为是背包问题，类似于爬楼梯，于是直接带了爬楼梯的递推公式进去，发现算出来的结果都超出int类型的范围了。但是当时都没有检查出来哪里错误。后来考完下来复盘的时候发现：
在爬楼梯问题中：可以一次爬两级，也可以一次爬一级，那么【1,2】和【2,1】算是两种方法。
但是在这个纸币问题中：如果要凑出30元，那么【10，20】和【20，10】是一种组合方式，这里求的是组合数！！！
所以下来学习了一下，发现应该有三种方法可以做！
首先最直观的一种做法就是暴力搜索！！！
这里我们发现要凑成1000元，如果全用10元的钞票，需要100张；全用20元的钞票，需要50张，全用50元的钞票，需要20张。那么解空间就有了，就是100x50x20。我们只要在这些可能里面挑出来符合要求的就可以！
代码实现
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {
int amount = 1000;
int m = 1000 / 10;
int n = 1000 / 20;
int p = 1000 / 50;
int count = 0;
for (int i = 0; i <= m; i++) {
for (int j = 0; j <= n; j++) {
for (int k = 0; k <= p; k++) {
if (i * 10 + j * 20 + k * 50 == 1000) {
count++;
}
}
}
}
cout << count << endl;
return 0;
}
从上面的实现代码不难发现，循环嵌套的层数随着币值的种类增加而增加，而且一旦我要凑的金额增大，其时间复杂度也会变得很大，所以不是最优解！
第二种方法：动态规划！
这里参考下面这篇博客：
算法笔试题：1元，5元，10元，20元，50元、100元面值人民币组合给定x元的问题
因为原博客的代码是用Java写的，所以我这里用C++重新写了一下。具体关于动态规划的论述这篇博客已经说的很详细了，不再赘述~
代码实现
#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;
int main() {
vector<int> money = {
10, 20, 50 }; // 3种币值
vector<int> dp(1001, 0); // dp[i]表示利用三种币值凑成i元的组合数
dp[0] = 1; // 要凑成0元的组合数为1
for (int i = 0; i < money.size(); i++) {
// 当i=0时表示只用10元的币值凑，凑成j元有几种组合
// 当i依次增加时，表示在原来的组合数的基础上再加上用当前的币值所能凑出的组合数
for (int j = money[i]; j < dp.size(); j++) {
dp[j] += dp[j - money[i]];
}
}
cout << dp[1000] << endl;
return 0;
}
第三种方法则是可以利用生成函数来求解，因为10元， 20元，50元的纸币有无数张，所以生成函数可以这么写：
g ( x ) = ( 1 + x 10 + x 20 + x 30 + . . . + x 1000 ) ⋅ ( 1 + x 20 + x 40 + . . . + x 1000 ) ⋅ ( 1 + x 50 + x 100 + . . . + x 1000 ) g(x) = (1+x^{10}+x^{20}+x^{30}+...+x^{1000})\cdot(1+x^{20}+x^{40}+...+x^{1000})\cdot(1+x^{50}+x^{100}+...+x^{1000}) g(x)=(1+x10+x20+x30+...+x1000)⋅(1+x20+x40+...+x1000)⋅(1+x50+x100+...+x1000)
求出上式中x的1000次方的系数即为组合成1000元的组合数。具体代码就需要拆解上述生成函数，还没想好怎么实现，如果有大佬有C++代码的实现，欢迎来交流！