前言
固然可以使用一个更大范围的数来保存结果并判断是否溢出，但如果已经是系统或语言支撑的最大整数类型了呢？
先给出结论：
对于无符号整数
| 运算类型 | 溢出类型 | 判断没有溢出 | 注意 |
|---|---|---|---|
| s=x+y | 可能上溢 | s≥x | 不能使用s-x==y来判断 |
| s=x-y | x<y时会下溢 | x>=y | NA |
| m=x*y | 可能上溢 | (x==0&&m=0) || (x!=0&&m/x==y) | NA |
| m=x/y | 不会溢出 | 1==1 | NA |
对于有符号整数
| 运算类型 | 溢出类型 | 如何判断 | 注意 |
|---|---|---|---|
| s=x+y | 可能上溢或下溢 | !((x>=0&&y>=0&&s<0)||(x<0&&y<0&&s>=0)) | NA |
| s=x-y | 可能上溢或下溢 | !((x<0&&y>0&&s>=0)||(x>0&&y<0&&s<=0)) | NA |
| m=x*y | 可能上溢 | !x || m/x==y | NA |
| m=x/y | 不会溢出 | NA | NA |
证明
无符号整数
- s=x+y
两个正整数相加可能会上溢，根据我们给出的判断方法，我们需要证明只要s大于等于x、y中任意一个，则说明没有溢出。
- 我们要证明当s>=x时没有溢出，先讨论x、y的大小：如果x>=y，则s>=x会传递到s>=y，符合加法性质；如果x<y，则要证明当s>=min(x,y)时，依旧能判断是否溢出；
- 使用反证法，我们假设当s>=x时有溢出，则溢出值s’=x+y-MAX，有x+y-MAX>=x，有y>=MAX，当取等号时，y=MAX，x=0，s’=0时，没有溢出但是还是有s>=x，与假设矛盾；如果取大于号，显然与定义矛盾，从而得证。
- 再证明使用s-x==y不能判断是否溢出，我们这里取3位无符号整数，MAX=8，x=4，y=5，则s=x+y-MAX=1发生溢出，但s-x=-3在无符号是5 == y。