作者：athemeroy
原文：https://blog.csdn.net/athemeroy/article/details/79339546
篱笆网络（Lattice）的最短路径问题
这个问题长什么样子？
尝试着回答一下这个问题（就算没办法回答也请先别关闭这个窗口！）：
已知下图的篱笆网络，每个节点之间的数字表示相邻节点之间的距离，举个例子来说，如果我走A→B1→C2→D1→EA→B1→C2→D1→E，这个距离是6+6+5+4=216+6+5+4=21。那么如果让你从A走到E，最短路径是哪一条呢？
这个问题难在哪里？
好啦不用尝试啦！显然大家都知道，通过穷举的方法是很容易得到最短路径，可是问题就在于如果穷举的话，需要的加法次数不用算你也知道实在是太多啦（每条路径需要计算44次加法，一共3×3×3=273×3×3=27条路径共108108次计算）！像这种没几层的篱笆网络也就罢了，如果每层13个节点，一共12层（然而这个规模对于标注问题来说也依然根本不算什么），可想而知那个线有多乱，如果仅仅穷举的话，这个计算量（大致是每条1212次计算，一共13121312条路径共大约12×1312≈2×101512×1312≈2×1015次计算）怕是超级计算机也吃不消。
为了不直接给公式让大家关掉窗口，我们尝试着一点一点来解决这个问题
简化成这个模样，你总能回答了吧？
如下图，如果我想让你找到A→E的最短路径，就很简单了吧？
这个时候请把这个问题和上一个问题做一个对比，同时从相反的方向考虑一下上一个问题：如果我最终想要到达E这个节点，其实无论如何都是要经过D这一层的，那么要是我知道从A到D的每一个节点的最短路径长度（在刚才的图上，我们事实上假设了他们分别是15、14和12），再加上从D的各节点到E的路程就得到了最终路径的长度。
当然我们还需要再多想一点：如果想要真的按照A到E的最短路径来走的话，我们其实不会选择D1D1和D2D2这两个节点，因为哪怕（以）A→D2A→D2（为例）路径更短（就算是10），但是加上D2→ED2→E的距离之后就变得更长了（这时候也是18）。相应的我们也就明白这样一个道理：虽然我们最后没有选择D1D1和D2D2这两个节点，但我们是否真的就不需要得到A到他们的最短路径了呢？答案当然是否定的：从刚才的例子我们很容易理解，站在D层的角度来看的话，最终的长度是由“历史”（A到每一个D的长度）和“未来”（每一个D到E的长度）同时决定的，只有同时掌握了“历史”和“未来”，世界才能在我们手中（旁白：你说什么呢）！
当然刚才我们从A到D层的路径是假设出来的，事实上如果我们真的要解决最开始那个问题，我们需要求解这个问题：
我们就可以知道，最终的最短路径到底走的是哪个D。
下一步我们该干什么？
我们已经明白了，为了确定从哪个D到E才是最短的，我们就必须确定A到每一个D的最短路径。诶？这个问题是不是从哪里见过？
其实这就是所谓的“动态规划”的核心了：子问题几乎是完全一样的，我们只要一个一个解决了子问题（的子问题），最终的问题就迎刃而解了。
为了确定这个问题，我们就需要一个D一个D地去考虑（旁白：？？？），比如在考虑D1的时候不考虑D2、D3、E等等。把问题简化成这个样子：
这个图是不是和图1 非常相似？
然后根据图3的思想，我们把它简化成这个样子：
这个图是不是和图3非常相似？
问题相应就变成了从A到每一个C的最短路径是多少？
解决了这个问题的话，我们就可以知道，最终如果走了比如D1，前面路过的到底是哪个C
再进一步递推：为了确定到某一个C的最短路径，我们需要确定的就是这个问题：
别忘了我们的目标是什么：我们事实上是要确认如果最终路过了C1C1，前面路过的是哪一个B。
从动态规划的角度考虑，假设我们最终的路径能路过C1C1而我们已经走到了C1C1，那么可以肯定地说，我们来到C1C1的路径一定是所有来到C1C1路径里面最短的那一条（在这个图上看应该是B3B3）。因为如果我们没有走最短的那一条（比如我们错走成了B1B1），那么我们只要用更短的那一条（B3B3）去替换也一样可以走到C1C1。
别倒立了，我们再从头想一下这个问题！
我们刚才是从最终的E节点倒推考虑的这个问题，这一次我们从A真正的走一遍。
我们是怎么走过来的
我们在每一层M都仅仅需要考虑这样一个问题：
为了到下一个层的某一个确定的节点Ni，我们到底应该从哪一个Mi出发呢？
一旦确定了从哪一个Mi出发，其他的Mj就不在我考虑范围内了。
就像我们刚才说的，只要我能找到去C1应该从B3走，我就不需要考虑其他的到C1的路径了。这样就大大的减少了路径总数。
来，我们从A开始走
1.A→B
这个没啥说的：6，7，5
我们顺利走到了B层
2.A→B→C
我们确定到每一个C的节点，应该路过哪一个B：
- C1C1:6+5=11, 7+4=11, 5+4=9，最终选择A→B3→C1A→B3→C1，抛弃其他到C1C1的路径，长度9
- C2C2:12 ,10 ,11， 最终选择A→B2→C2A→B2→C2，抛弃其他到C2C2的路径，长度10
- C3C3:15,14,11，最终选择A→B3→C3A→B3→C3，抛弃其他到C3C3的路径，长度11
我们顺利走到了C层，同时得到了到每一个C的最短路程
3.A(→B)→C→D
我们确定到每一个D的节点，应该路过哪一个C
- D_1:9+7=16,10+5=15,11+5=16,最终选择A→B2→C2→D1A→B2→C2→D1，抛弃其他到D1D1的路径，长度15
- D_2:17,14,18，最终选择A→B2→C2→D2A→B2→C2→D2，抛弃其他到D2D2的路径，长度14
- D_3:12,13,17，最终选择A→B3→C1→D3A→B3→C1→D3，抛弃其他到D3D3的路径，长度12
我们顺利走到了D层，同时得到了到每一个D的最短路程
4.A(→B→C)→D→E
我们确定每一个D到最终节点E的路程
显然最后应该选择D3，完整路径为
A→B3→C1→D3→E
路程为17。抛弃其他所有路径。
这次我们需要算的次数大约是多少呢？
简单来说，从A到B有3条路径，每一条我们需要算到每一个C的最短距离，所以是2(路径加法数)×3(A→B)×3(B→C)2(路径加法数)×3(A→B)×3(B→C)，只要我们确定了每一个到C的最短距离剩下的事情就可以从C开始考虑了：每一个C需要确定到每一个D的最短距离，最终再加上D到E的距离就搞定了(2(路径加法数)×3(C个数)×3(D个数)2(路径加法数)×3(C个数)×3(D个数))。
如果换成是12层，每层最多13节点的话，每推一步的计算量最大规模在132132（为了确定从哪一个B来到C，需要对每一个B到每一个C进行一次计算，上述计算每步是32=932=9次），而因为子问题都是一样的，所以增长是与网络长度成正比的：推进12次也仅仅乘以12而已。当然计算的方式不可能像这样简单乘一乘就搞定，但是可以看得出要比穷举要简单得多了。
We are almost there!
这几乎就是维特比算法了。至于维特比算法更公式化的描述和在隐含马尔科夫过程中的应用，我们下一文再说！