『二分·双指针维护』小B的游戏

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题目描述

这里是原题地址：小B的游戏

题目大意就是说：有两个序列，任选两个组成新的数中，求第k大的数。

题解

这道题可以使用优先队列解决，时间复杂度是 $O(k\ log\ k)$。

我们来思考一下正解：

我们发现随着这一个具体数值的增大，比这个数小的数对会越来越多，比这个数大的数对会越来约数；那么我们只要找到这么一个数 $x$，满足小于或等于这个数的个数 $sum\leq k$，且这个数尽可能的小，那么这一个数就是我们最终所求的答案。

接下来证明：满足小于或等于这个数 $x$的个数 $sum\leq k$， $x$就是一个合法的数。

• 如果 $sum=k$,一定是按照题意合法的答案。
• 如果 $sum=\not k$时，设数 $i$的 $sum$值为 $sum_i$,则如图所示：
  
  这就对应了算法二分答案。

在查找的时候，我们使用双指针维护，一个指针从前往后扫，一个指针从后往前扫；对于第一个数列的数 $a_i$,我们在第二个序列中找到 $max{j}$满足 $a_i+b_j\leq m$,那个第一个数对中以 $i$为第一个数的贡献就是 $j$。

代码如下：

#include <bits/stdc++.h>

#define LL long long

using namespace std;

const LL N = 5000000;
LL k;
LL n,m;
LL a[N];
LL b[N];

bool check(LL x)
{
	LL j = m;
	LL cnt = 0;
	for (LL i=1;i<=n;++i)
	{
		while (j>1 && a[i]+b[j]>x) j --;
		if (a[i]+b[j] <= x) cnt += j;
	}
	return cnt < k;
}

int main(void)
{
	scanf("%lld %lld %lld",&n,&m,&k);
	for (LL i=1;i<=n;++i) scanf("%lld",a+i);
	for (LL i=1;i<=m;++i) scanf("%lld",b+i);
	sort(a+1,a+n+1);
	sort(b+1,b+m+1);
	LL l = 2,r = 2e9;
	while (l+1 < r)
	{
		LL mid = l+r>>1;
		if (check(mid)) l = mid;
		else r = mid;
	}
	//查找个数<k的最大值
	if (check(r)) printf("%lld",r+1);
	else printf("%lld",l+1);
	return 0;
}