前言
\(MillerRabin\)素数测试是一种很实用的素数判定方法。
它只针对单个数字进行判定，因而可以对较大的乃至于\(long\ long\)范围内的数进行判定，而且速度也很快，是个十分优秀的算法。
前置定理
- 费马小定理：\(a^{p-1}\equiv1(mod\ p)\)（详见此博客：费马小定理）
- 二次探测定理：若\(p\)为奇素数且\(x^2\equiv1(mod\ p)\)，则\(x\equiv1(mod\ p)\)或\(x\equiv p-1(mod\ p)\)。
大致思路
假设我们要验证\(x\)是否为素数，则我们应先找一个质数\(p\)来对其进行测试（\(p\)可以选取多个依次进行测试，只要有一个不满足就可以确定其不是质数）。
首先，我们先判断如果\(x=p\)，则\(x\)必为质数（因为\(p\)为质数）。如果\(x\)是\(p\)的倍数，则\(x\)必为合数。
然后，由于费马小定理，我们先测试\(p^{x-1}\%x\)是否等于\(1\)，如果不是，则它必然不是质数（这一步也叫作费马测试）。
否则，我们根据二次探测定理，先用一个\(k\)记录下\(x-1\)，然后只要\(k\)为偶数就持续操作：
- 先将\(k\)除以\(2\)，然后用一个\(t\)记录下\(p^k\%x\)的值。
- 如果\(t\)不等于\(1\)且不等于\(p-1\)，则根据二次探测定理，\(x\)非质数。
- 如果\(t=p-1\)，则无法继续套用二次探测定理，因此直接返回\(true\)。
如果一直操作到\(k\)为奇数仍然无法确定\(x\)非质数，就返回\(true\)。
这一过程应该还是比较容易理解的。
代码
class MillerRabin\\MR测试
{
private:
#define Pcnt 12
Con int P[Pcnt]={2,3,5,7,11,13,17,19,61,2333,4567,24251};//用于测试的质数
I int Qpow(RI x,RI y,CI X) {RI t=1;W(y) y&1&&(t=1LL*t*x%X),x=1LL*x*x%X,y>>=1;return t;}//快速幂
I bool Check(CI x,CI p)//测试
{
if(Qpow(p%x,x-1,x)^1) return false;//费马测试
RI k=x-1,t;W(!(k&1))//持续操作直至k为奇数
{
if((t=Qpow(p%x,k>>=1,x))^1&&t^(x-1)) return false;//如果p^k不是1也不是-1，说明x不是质数
if(!(t^(x-1))) return true;//如果p^k已为-1，无法用二次探测定理，因此返回true
}return true;
}
public:
I bool IsPrime(CI x)//判断一个数是否为质数
{
if(x<2) return false;
for(RI i=0;i^Pcnt;++i) {if(!(x^P[i])) return true;if(!Check(x,P[i])) return false;}//枚举质数进行测试
return true;
}
}MR;