因子分析 factor analysis (二 ) ：因子分析模型

一因子分析的原理

因子分析(factor analysis)是一种数据简化的技术。它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中的基本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜在变量，称为因子。

因子分析与回归分析不同，因子分析中的因子是一个比较抽象的概念，而回归因子有非常明确的实际意义。

主成分分析分析与因子分析也有不同，主成分分析仅仅是变量变换，而因子分析需要构造因子模型。

主成分分析:原始变量的线性组合表示新的综合变量，即主成分。

因子分析：潜在的假想变量和随机影响变量的线性组合表示原始变量。

二因子分析模型

2.1 数学模型

2.2 因子分析模型的性质

（1）原始变量 X 的协方差矩阵的分解

（2）载荷矩阵不是唯一的

设 T 为一个 $p\times p$ 的正交矩阵，令 $\large \tilde{A} =AT ,\tilde{F}=T^{T}F$ ,则模型可以表示为 $\large X=\mu +\tilde{A}\tilde{F}+\varepsilon$

2.3 因子载荷矩阵中的几个统计性质

2.3.1 因子载荷 $\large a_{ij}$ 的统计意义

因子载荷 $\large a_{ij}$ 是第 $\large i$ 个变量与第 $\large j$ 个公共因子的相关系数，反映了第i个变量与第 j
个公共因子的相关重要性。绝对值越大，相关的密切程度越高。

2.3.2 变量共同度的统计意义

变量 $\large X_{i}$ 的共同度是因子载荷矩阵的第i行的元素的平方和，记为 $\large h_{i}^{2}=\sum_{j=1}^{m}a_{ij}^{2}$

对（49）式两边求方差，得

可以看出所有的公共因子和特殊因子对变量 $\large X_{i}$ 的贡献为1。如果 $\large \sum_{j=1}^{m}a_{ij}^{2}$ 非常靠近1， $\large \sigma _{i}^{2}$ 非常小，则因子分析的效果好，从原变量空间到公共因子空间的转化效果好。

2.3.3 公共因子 $\large F_{j}$ 方差贡献的统计意义

因子载荷矩阵中各列元素的平方和 $\large S_{j}=\sum_{i=1}^{p}a_{ij}^{2}$ 称为 $\large F_{j} \left ( j=1,2,...,m \right )$ 对所有的 $\large X_{i}$ 的方差贡献和，衡量 $\large F_{j}$ 的相对重要性。