洛谷P3964 [TJOI2013]松鼠聚会（坐标系变换）

题面

传送门

题解

对于两个点\((x_i,y_i)\)和\(x_j,y_j\)，我们定义它们之间的曼哈顿距离为

\[|x_i-x_j|+|y_i-y_j|\]

定义它们的切比雪夫距离为

\[\max(|x_i-x_j|,|y_i-y_j|)\]

有如下转换：

将原坐标为\((x,y)\)的点转化为\((x+y,x-y)\)之后，原坐标系中的曼哈顿距离等于新坐标系中的切比雪夫距离

将原坐标为\((x,y)\)的点转化为\(({x+y\over 2},{x-y\over 2})\)之后，原坐标系中的切比雪夫距离等于新坐标系中的曼哈顿距离

这里只证后一个，因为前一个就是它反过来

证明：

首先我们有一个结论

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\[\max\left({|a+b|,|a-b|}\right)=|a|+|b|\]

分类讨论就能证明了

那么两个点重构之后的坐标为\(({x_i+y_i\over 2},{x_i-y_i\over 2}),({x_j+y_j\over 2},{x_j-y_j\over 2})\)，设为\((x_i',y_i'),(x_j',y_j')\)，那么现在它们之间的距离为

\[ \begin{aligned} Ans &=\max(|x_i-x_j|,|y_i-y_j|)\\ &=\max(|(x_i'+y_i')-(x_j'+y_j')|,|(x_i'-y_i')-(x_j'-y_j')|)\\ &=\max(|(x_i'-x_j')+(y_i'-y_j')|,|(x_i'-x_j')-(y_i'-y_j')|)\\ &=|x_i'-x_j'|+|y_i'-y_j'| \end{aligned} \]

然后这题把切比雪夫距离转化为曼哈顿距离就可以了

关于如何计算曼哈顿距离的和呢？我们可以按\(x\)坐标和\(y\)坐标排个序，前缀和搞一下就可以了，具体可以看代码

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define inline __inline__ __attribute__((always_inline))
#define fp(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=(a),I=(b)-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
template<class T>inline bool cmin(T&a,const T&b){return a>b?a=b,1:0;}
using namespace std;
char buf[1<<21],*p1=buf,*p2=buf;
inline char getc(){return p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++;}
int read(){
    R int res,f=1;R char ch;
    while((ch=getc())>'9'||ch<'0')(ch=='-')&&(f=-1);
    for(res=ch-'0';(ch=getc())>='0'&&ch<='9';res=res*10+ch-'0');
    return res*f;
}
const int N=1e5+5;
ll sum[N],res,tmp;int x[N],y[N],n;
struct node{
    int v,id;
    inline node(){}
    inline node(R int vv,R int ii):v(vv),id(ii){}
    inline bool operator <(const node &b)const{return v<b.v;}
}p[N];
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);
    n=read(),res=1e18;
    for(R int i=1,dx,dy;i<=n;++i)dx=read(),dy=read(),x[i]=dx+dy,y[i]=dx-dy;
    fp(i,1,n)p[i]=node(x[i],i);
    sort(p+1,p+1+n);
    tmp=0;
    fp(i,1,n)sum[p[i].id]+=1ll*(i-1)*p[i].v-tmp,tmp+=p[i].v;
    tmp=0;
    fd(i,n,1)sum[p[i].id]+=tmp-1ll*(n-i)*p[i].v,tmp+=p[i].v;
    fp(i,1,n)p[i]=node(y[i],i);
    sort(p+1,p+1+n);
    tmp=0;
    fp(i,1,n)sum[p[i].id]+=1ll*(i-1)*p[i].v-tmp,tmp+=p[i].v;
    tmp=0;
    fd(i,n,1)sum[p[i].id]+=tmp-1ll*(n-i)*p[i].v,tmp+=p[i].v;
    fp(i,1,n)cmin(res,sum[i]);
    printf("%lld\n",res>>1);
    return 0;
}