题目: 求100以内所有的素数和个数
延伸:任意范围内的素数和前N个素数的和.
定义
何为素数?素数(又称为质数）就是在所有比1大的整数中，除了1和它本身以外，不再有别的因数，这种整数叫做质数。还可以说成质数只有1和它本身两个约数。2.素数是这样的整数，它除了能表示为它自己和1的乘积以外，不能表示为任 何其它两个整数的乘积。
解法
知道了素数的定义之后,该如何求解素数呢?不论是求和,还是求解任意范围内的素数,其基本原理都是一样,都需要求解出特定范围内的素数,剩下的只是取值界限不一样而已,因此,在这里我们用100以内的素数为例,讲解下在python中如何求解.
方法一: 穷举法
n=100
count =0
primenumber=[]
for x in range (2,n+1):
for i in range(2,x):
if x%i ==0:
break
else:
count+=1
primenumber.append(x)
print(count)
print(primenumber)
方法二: 开方减"半"法
#解释:一个非质数的整数一定能拆分成两个数的乘积(废话么),重点在这两个数(还是废话)一定有一个数小于等于其开方值.
#举例:36 可以拆分成2*18 3*12 6*6 1* 36 也就是说能被拆分的数两个数一定有一个数是在[1,6]之间,如果
#在[1,6]之间都找不到一个数可以被36整除,那么6以后的数也一定不会存在.
#下面就可以缩小循环的下限值了:
n=100
count =0
primenumber=[]
for x in range (2,n+1):
for i in range(2,int(pow(x,0.5))+1):
if x%i ==0:
break
else:
count+=1
primenumber.append(x)
print(count)
print(primenumber)
方法三:去除偶数法
#解释:在方法2的基础上已经剔除了很多无用的数,但是其中还是有很多数是没有必要算的,比如所有的偶数,(2除外.为什么呢?因为2是特殊的质数)
#所有的偶数都可以被2整除,也就一定不是素数.
#把上面的代码优化一下:
n=100
count =1
primenumber=[2]#2为特殊,所以需要额外加上质数2
for x in range (3,n+1,2): #要去除所有偶数,那么可以重3开始循环
for i in range(3,int(pow(x,0.5))+1):#取进来的数都是奇数了,那么和2除就没有意义,故这里也重3开始
if x%i ==0:
break
else:
count+=1
primenumber.append(x)
print(count)
print(primenumber)
方法四:使用列表法
#解释:根据方法三,去除了偶数,也"减半"了,但奇数中还有很多不是素数,例如15,25,30等能被5整除,9,18,27等能被3整除,
#因此可以进一步优化代码.
#去除以上数,可以在循环前用if 语句进行预先判断一下,如果满足条件就不进行循环,这样也可以减少部分运算量,尤其当所求
#素数非常大时,能提高不少效率,由于较为简单,不在介绍,下面主要介绍另外一种方法.
#质数列表: 讲所求的质数作为一个质数列表,合数一定可以分解为几个质数的乘积
n=100
count = 1
primenumber=[2]
for x in range(3,n+1,2):
for i in primenumber:
if x%i==0:
break
else:
primenumber.append(x)
count += 1
print(count)
print(primenumber)
#优化算法: 列表内数据开方"减半"
n=100
count = 1
primenumber=[2]
for x in range(3,n+1,2):
flag =False
edge =int(pow(x,0.5))
for i in primenumber:
if i > edge:
# for i in primenumber: #比较注释行与上面三行代码,哪种代码的运算效率更高?为什么
# if i> int(pow(x,0.5)):
flag = True
break
if x%i==0:
flag=False
break
if flag:
primenumber.append(x)
count += 1
print(count)
print(primenumber)
方法五:素数性质法
#解释---所有大于三的素数只有6N-1,和6N+1两种形式(证明略)
n=100
count=3 # 初始值2,3,5
x=7
step =4
primenumber=[2,3,5]
while x< n:
if x%5!=0:
edge=int(x**0.5)+1
for i in range(3,edge,2):
if x %i ==0:
break
else:
count+=1
primenumber.append(x)
x+=step
step=4 if step==2 else 2
print(count)
print(primenumber)
方法六: 埃拉托斯特尼筛法
#埃拉托斯特尼筛法:
#定义:要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于 的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。
#给出要筛数值的范围n，找出以内的素数。先用2去筛，即把2留下，把2的倍数剔除掉；再用下一个质数，也就是3筛，把3留下，把3的倍数剔除掉；接下去用下一个质数5筛，把5留下，把5的倍数剔除掉；不断重复下去......。
h = [True] * 100#开辟内存空间
h[:2] = [False, False]#排除特殊的0和1
for i in range(2, int(100 ** 0.5) + 1):
if h[i]:
h[i*i::i] = [False] * len(h[i*i::i])
s=''
for i, e in enumerate(h):
if e:
s += str(i) + ' '
print(s.strip())
#变形后
n=1000
p=[True]*(n+1) #定义素数可能出现的区间,一次开辟所需内存
p[0]=p[1]=False
p[2]=True
count=1
for x in range(2,int(n**0.5)+1): #定义取值范围
if not p[x]:#排除已经是乘积因子求出的数
continues
for i in range(x*x,n+1,x):#标记是乘积因子的数,如2*2 2*3 2*4.........3*3 3*4 发现全部排除
p[i]=False
primes=[i for i in range(n+1)if p[i]]#取出上面集合中没有被排除的数,因为已经计算所有乘积的结果,
#所有剩下的数,一定没有乘积,即为素数
print(primes)
总结
求解素数基本原理就是一个遍历循环的过程,如何在循环中去除不必要的数,降低循环次数,降低时间复杂度,是判断求解素数方法好坏的重要标准之一.
最后,奉上两个大牛写的代码,用于瞻仰,吾等学习之榜样:
#立个flag,等哪天我也能随便写出这样的代码.就来把这个赞美删掉!欢迎监督
#法一:
print (list(p for p in range(2, 100) if 0 not in ( p%i for i in range(2,int(pow(p,0.5))+1))))
#法二:
print(" ".join("%s" % x for x in range(2,100) if not [y for y in range(2,x) if x % y ==0]))
果然python什么都能用一行代码解决。。。