【数论+DP】 BZOJ5302 [HAOI2018] 奇怪的背包

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【题目】
lydsy
有 $n$种体积不同的物品，第 $i$种占用 $v_i$，每种物品都有无限个。现在需要放入一个背包中，使用空间是物品占用总和对 $P$取模。 $Q$次询问有多少种不同方式可以将占用变为 $w_i$。方式不同当且仅当选择的物品种类不同。
$n,Q\leq 10^6,P\leq 10^9$，答案对 $10^9+7$取模。

【解题思路】
对于每个 $v_i$，就是构造 $v_ik\equiv x (\text{mod }P)$，看是否能构造出需要的 $x$。我们可以将其写出 $ax+by=c$的形式，根据裴蜀定理，这个等式有整数解，当且仅当 $gcd(a,b)|c$。

那么对于每个选择 $v_i$的方案，我们能构造出的所有占用，就是所有数与 $P$的 $gcd$的倍数。
同样对于每个询问 $w_i$，我们也可以先将 $w_i$与 $P$取 $gcd$，这并不会影响答案。

那么现在就是要求 $P$的每个约数的答案了，而 $P$的约数个数大概是小于 $O(P^{\frac 1 3})$的。
不妨考虑设 $f_{i,j}$表示前 $i$个数，构造出答案为 $j$的方案数，设 $S$为 $P$的约数个数， $gcd$是 $O(1)$的，这样可以做到 $O(nS)$。

但实际上由于每个 $v_i$有用的因子一定也是 $P$的约数，所以实际上本质不同的 $v_i$只有 $S$个，转移的时候乘上一个 $2^k-1$即可。

这样上面的 $\text{DP}$就可以做到 $O(S^2)$了（写 $\text{map}$的话是 $O(S^2\log P)$，还有预处理的 $O(\sqrt P)$

【参考代码】

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

const int N=1500,M=1e6+10,mod=1e9+7;

namespace IO
{
	int read()
	{
		int ret=0;char c=getchar();
		while(!isdigit(c)) c=getchar();
		while(isdigit(c)) ret=ret*10+(c^48),c=getchar();
		return ret;
	}
	void write(int x){if(x>9)write(x/10);putchar(x%10^48);}
	void writeln(int x){write(x);putchar('\n');}
}
using namespace IO;

namespace DreamLolita
{
	int n,Q,P,cnt;
	int fc[M],p[N],a[N],ans[N],f[N][N];
	map<int,int>mp;
	void up(int &x,int y){x+=y;if(x>=mod)x-=mod;}
	int gcd(int x,int y){return y?gcd(y,x%y):x;}
	void solution()
	{
		n=read();Q=read();P=read();p[cnt=1]=1;mp[0]=0;
		fc[0]=1;for(int i=1;i<=n;++i)fc[i]=1ll*fc[i-1]*2%mod;
		for(int i=1;i<=n;++i)up(fc[i],mod-1);
		for(int i=2;i<=sqrt(P);++i) if(!(P%i)) p[++cnt]=i,p[++cnt]=P/i;
		if(p[cnt]==p[cnt-1]) --cnt;
		sort(p+1,p+cnt+1);
		for(int i=1;i<=cnt;++i) mp[p[i]]=i;
		for(int i=1;i<=n;++i)
		{
			int x=gcd(P,read());
			a[mp[x]]++;
		}
		f[0][0]=1;
		for(int i=1;i<=cnt;++i)
		{
			memcpy(f[i],f[i-1],sizeof(f[i-1]));
			if(!a[i]) continue;
			for(int j=0;j<=cnt;++j)
			{
				int t=gcd(p[j],p[i]);
				up(f[i][mp[t]],1ll*fc[a[i]]*f[i-1][j]%mod);
			}
		}
		for(int i=1;i<=cnt;++i) for(int j=1;j<=i;++j) 
			if(!(p[i]%p[j])) up(ans[i],f[cnt][j]);
		while(Q--)
		{
			int x=gcd(P,read());
			writeln(ans[mp[x]]);
		}
	}
}

int main()
{
#ifdef Durant_Lee
	freopen("BZOJ5302.in","r",stdin);
	freopen("BZOJ5302.out","w",stdout);
#endif
	DreamLolita::solution();
	return 0;
}