2-3树定义

定义：多路查找树，其中每一个结点都具有两个孩子（称为2结点）或三个孩子（称为3结点）。所有叶节点都在树结构的同一层，因此树的高度总是平衡的。

一个2结点包含一个元素和2个孩子（或者没有孩子），且与搜索二叉树类似，左子树包含的元素小于该元素，右子树包含元素大于该元素。不过与搜索二叉树不同的是，2结点要么没有孩子，要有就有两个，不能只有一个孩子。

2结点如下图所示（注：这里左右子结点可能是2结点或者3结点）

一个3结点包含一小一大两个元素，和三个孩子（或者没有孩子），要么没有孩子结点，要么有3个孩子。如果有三个孩子，左子树包含小于较小元素的元素，右子树包含大于较大元素的元素，中间子树包含介于两元素之间的元素。

3结点如下图（注：这里左右子结点可能是2结点或者3结点）

2-3树的插入

插入分三种情况：

1）对于空树，插入一个2结点即可，跟之前的一样。

2）插入结点到一个2结点的叶子上。由于其本身就只有一个元素，所以只需要将其升级为3结点即可。

如下图所示：含有元素3的结点插入，比8小，比4小，比1大，但是含有1元素的结点本身只有一个元素且没有子结点，所以把1元素所在位置的结点变成3结点。然后看插入元素比原来元素大小比较，这里顺序是1,3

3）网3结点插入一个新元素时，由于3结点本身已经是2-3树的结点最大容量（已经含有两个元素），因此需要拆分，将树中的两元素或插入元素的三者中选择其一向上移动一层。

如下图所示：

第一种情况：

含有元素5的结点插入，比8小，比4大，遇到3结点，无法再加。
此时发现父结点4是个2结点，因此可以考虑升级成3结点，但是3结点必须有是三个孩子，于是可以将6,7拆开，让6放入4中，成为3结点，将5成为中间孩子，7成为右孩子。（这里是判断大小选择变成3结点，和拆成2结点的数）

第二种情况：

例子：（可看出树的高度也发生了变化）

删除也分三种情况，与插入相反。

1）删除元素位于一个3结点，并且是叶子结点，无孩子结点，则可以直接删除一个元素变成2结点。

例子如下：

2）所删除的元素位于一个2结点上，即要删除的是一个只有一个元素的结点。如果直接删除肯定会造成父结点的孩子结点少一个，所以需要分情形来处理。分成四种情形。

情形一，此结点的父结点也是2结点，且拥有一个3结点的右孩子。如下图，删除结点1时，需要左旋，6改成父结点，4成为6的左结点，7是6的右结点。
情形二，此结点的父结点是2结点，它的右孩子也是2结点，如下图，要删除4结点，如果直接左旋的话，仍会没有右孩子，所以需要对整棵树进行变形，。
由于2结点无法左旋，所以我们需要制造和情形一相同的情况，即7这个结点改成3结点，那就需要让比7稍大的元素下来，即8下来和7组成3结点，然后8这个位置需要比8稍大的元素进行补充，这里9放入（若遇到3结点那么跟情形一的处理方法一样）。最后7、8的3结点进行左旋即可。
情形三，此结点的父结点是3结点，如下图所示，删除结点10，那么父结点12、14就会少一个左结点，无法直接删。所以思路就是让父结点变成2结点，这样满足两个子节点的规则，然后把多于的元素和中间结点结合变成3结点。
情形四，如果当前树是一个满二叉树，如下图所示，此时，删除任何一个叶子节点都会不满足2-3树的定义，那么我们就需要合并成3结点，6、7成为3结点后，树的高度不平衡，所以我们需要继续调整，把9,14变成3结点，这才满足定义。