分数及其四则运算

【分数的表示】

对一个分数来说，最简洁的写法就是写成假分数的形式，即无论分子比分母大或者小，都保留其原数。因此可以使用一个结构体来存储这种只有分子和分母的分数：

struct Fraction()	//分数 
{
	int up, down;	//分子、分母 
}

于是就可以定义 Fraction 类型的变量来表示分数，或者定义数组来表示一堆分数。其中需要对这种表示制订三项规则：

1. 使 down 为非负数。如界分数为负，那么令分子 up 为负即可。
2. 如果该分数恰为0，那么规定其分子为0，分母为1
3. 分子和分母没有除了1以外的公约数。

【分数的化简】

分数的化简主要用来 使 Fraction 变量满足分数表示的三项规定，因此化简步骤也分为以下三步：

1. 如果分母 down 为负数，那么令分子 up 和分母 down 都变为相反数。
2. 如果分子 up 为0，那么令分母 down 为1。
3. 约分：求出分子绝对值与分母绝对值的最大公约数d，然后令分子分母同时除以d。

Fraction reduction(Fraction result)
{
	if(result.down<0)	//分母为负数，令分子和分母都变为相反数 
	{
		result.up = -result.up;
		result.down = -result.down;
	}
	
	if(result.up==0)	//如果分子为0 
	{
		result.down = 1;	//令分母为1 
	}
	else	//如果分子不为0，进行约分 
	{
		int d = gcd(abs(result.up), abs(result.down));	//分子分母的最大公约数 
		result.up /= d;		//约去最大公约数 
		result.down /= d; 
	}
	
	return result;
}

【分数的加法】

对两个分数 f1 和 f2，其加法计算公式为：

Fraction add(Fraction f1, Fraction f2)	//分数f1加上分数f2 
{
	Fraction result;
	result.up = f1.up*f2.down + f2.up*f1.down;
	result.down = f1.down*f2.down;
	return reduction(result);	//返回结果分数，注意化简 
} 

【分数的减法】

对两个分数 f1 和 f2，其减法计算公式为：

Fraction minu(Fraction f1, Fraction f2)	//分数f1减去分数f2 
{
	Fraction result;
	result.up = f1.up*f2.down - f2.up*f1.down;
	result.down = f1.down*f2.down;
	return reduction(result);	//返回结果分数，注意化简 
} 

【分数的乘法】

对两个分数 f1 和 f2，其乘法计算公式为：

Fraction multi(Fraction f1, Fraction f2)	//分数f1乘以分数f2 
{
	Fraction result;
	result.up = f1.up*f2.up;
	result.down = f1.down*f2.down;
	return reduction(result);	//返回结果分数，注意化简 
} 

【分数的除法】

对两个分数 f1 和 f2，其除法计算公式为：

Fraction divide(Fraction f1, Fraction f2)	//分数f1除以分数f2 
{
	Fraction result;
	result.up = f1.up*f2.down;
	result.down = f1.down*f2.up;
	return reduction(result);	//返回结果分数，注意化简 
} 

• 除法有额外注意事项。如果读入的除数为0 (只需判断 f2.up 是否为0)，那么应当直接特判输出题目要求的输出语句(例如输出 Error、Inf 之类)。只有当除数不为0时，才能用上面的函数进行计算。

【分数的输出】

分数的输出根据题目的需要根据题目的要求进行，但是大体上有以下几个注意点：

1. 输出分数前，需要先对其进行化简。
2. 如果分数 r 的分母 down 为1，说明该分数是整数，一 般来说题目会要求直接输出分子，而省略分母的输出。
3. 如果分数 r 的分子 up 的绝对值大于分母down，说明该分数是假分数，此时应按带分数的形式输出，即整数部分为 r.up/r.down，分子部分为 abs(r.up) % r.down，分母部分为 r.down
4. 以上均不满足时说明分数 r 是真分数，按原样输出即可。

以下是一个输出示例：

void showResult(Fraction r)
{
	r = reduction(r);
	if(r.down==1)
		printf("%lld",r.up);
	else if(abs(r.up)>r.down)
		printf("%d %d/%d",r.up/r.down, abs(r.up)%r.down, r.down);
	else
		printf("%d/%d",r.up, r.down);
}

强调一点：由于分数的乘法和除法的过程中可能使分子或分母超过 int 型表示范围，因此一般情况下，分子和分母应当使用 long long 型来存储。