背包问题理解

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申明：仅个人小记

前言

只讨论0-1背包和完全背包问题，以游戏闯关为背景辅助理解背包问题。

一、基本交代

0-1背包问题

$dp[i][j]$定义为体积为j的背包，从编号为 1，2，…i 的i个物品中挑选并放入背包，背包能盛放的最大价值。
状态转移方程为
$dp[i][j]=max\{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w]+v\}$
其中， $w,v$分别是编号为i的物品的重量(weight)和价值(value)。

完全背包问题

$dp[i][j]$定义为体积为j的背包，从编号为 1,2，…,i 的i种物品中挑选并放入背包，背包能盛放的最大价值。
状态转移方程为
$dp[i][j]=max\{dp[i-1][j],dp[i][j-w]+v\}$
其中， $w,v$分别是编号为i的物品的重量和价值。

注意到： 0-1背包中每种物品只有一个，而完全背包每种物品的数量为无限个。

二、逻辑部分

0-1背包问题

游戏闯关，每一关的编号为(i,j)。第(i,j)关中有编号为 1,2,…,i 的物品各一个，背包的体积为 j 。找出一个物品组合，使得物品能够放入背包并且背包中物品总价值达到最大，这个价值记为 $dp[i][j]$, 找到这个最大价值即可通关。
看的出来，这是一个组合问题，而且显然组合的情况很多（属于O(n!)级别）即计算复杂度很高。可以借助动态规划的思想，每次只考虑第(i, j)关中的第i个物品，而不关心其他的，进而大大降低复杂度。

开始分析

在第 (i, j) 关中，我们只考虑第 i 个物品，对于第 i 个物品在最优解中只有会被放入背包和不被放入背包两种情况。

(1) 若第 i 个物品在最优解中

从空背包开始，第 i 个物品最终必然会在背包里面，我们可以直接最先将其放入空背包中。此时背包剩余体积为 j-w，物品还有1,2,…,i-1，我们需要从其中继续找出最好的组合使得在背包体积为j-w且物品为1,2,…,i-1的情况下达到价值最高（继续找的一定得是最好的组合吗？此处可以反证，即如果继续找的组合不是价值最高，那么加上已经放入背包的编号为 i 的物品，总体的价值并不是最高的，与最初假设最优矛盾）。
可以发现，这种局面等价于游戏的第 (i-1, j-w) 关，即体积为 j-w 的背包和1,2,…,i-1这些物品，求 $dp[i][j-w]$。
故而，此时可以确定出一个状态关系 $dp[i][j]=dp[i-1][j-w]+v$

(2) 若第i个物品不在最优解中

显然，第 i 个物品最终不会出现在背包里面，故而，在第 (i,j )关游戏中，第 i 个物品存在或者不存都是一样的，并不会在最终结果中发挥作用，故而我们直接扔掉第 i 个物品。此时局面为背包体积为 j ，物品分别是1,2,…i-1这 i-1 个物品，我们要做的就是在这种局面下寻找最优解。
可以发现 ，这种局面等价于 游戏的第(i-1,j)关，即体积为 j 的背包和1,2,…,i-1 这些物品，求 $dp[i-1][j]$。
故而，此时确定出一个状态关系为 $dp[i][j]=dp[i-1][j]$

得出结论

到底第 i 个物品在不在最优解中，这得由我们的目标——最大价值化，来决定，所以，哪种情况下它的价值会更大，就选哪种。即 $dp[i][j]=max\{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w]+v\}$

完全背包问题

第 (i,j) 关中，背包体积为 j， 物品种类编号为1,2，…，i，每种物品数量没有上限。此时，分使用 i 类物品和不使用 i 类物品两种情况。

开始分析

(1) 使用第 i 类物品

此时，因为第 i 类物品数量没有上限，而你只会使用有限量的第 i 类物品，所以，不管你用几个 i 类物品，当使用完后，物品的情况没有发生变化，即编号仍为1,2,…,i ，每种物品数量为无限。
此时至少使用1个第 i 类物品，这个数量是确定的，故而我们分析先用掉 1个第 i 类物品的情况： 此时背包剩余体积为 j-w, 物品情况没变，则此时的局面等价于游戏的第 (i, j-w) 关。
故而，确定出一个状态关系式为 $dp[i][j] = dp[i][j-w]+v$注意：前后都是 i，而不是出现 i-1。

(2) 不使用第 i 类物品

显然，此时对于游戏的第(i,j)关来讲，第 i 类物品的存在是没有意义的，进而我们可以直接扔掉第 i 类物品，此时局面为： 背包体积为 j ，物品为编号1,2,…,i-1都是无限量，这个局面等价于游戏的第(i-1,j)关。此时，确定出一个状态关系为 $dp[i][j] = dp[i-1][j]$

得出结论

根据目标——背包盛放最大价值，我们来确定到底是否使用第 i 类物品，即 $dp[i][j]=max\{dp[i-1][j],dp[i][j-w]+v\}$

三、代码优化

代码优化主要就是在空间复杂度上的优化，初步看上述状态关系式，dp 应该是用二维数组来实现，二维数组的规模为背包的体积值X物品的种类数目。仔细分析，发现 $dp[i][j]=max\{dp[i-1][j],dp[i-1][j-w]+v\}$ $dp[i][j]=max\{dp[i-1][j],dp[i][j-w]+v\}$这两个中，每次计算一行时只会涉及对上一行或者本行前面部分的读取，基于这个现象，我们可以把二维数组优化为一维数组。优化后结果都是 $dp[j] = max\{dp[j],dp[j-w]+v\}$
但要注意计算顺序是存在区别的。对于0-1背包问题，在计算 $dp[j]$的时候，应保证 $dp[j-w]$没有被更新（没有更新意味着是上一行的数据），故而计算顺序应该 j 从大到小；对于完全背包问题，在计算 $dp[j]$时候，dp[j]要么直接来自上一行对应的一格的值 $dp[i-1][j]$，要么是来自本行的前面的值 $dp[i][j-w]$

// list[i]为结构体对象，其中存放着第i类物品的单个物品的体积和价值
// 0-1背包计算顺序
for (int i = 1; i <= n; i++) // n种物品
	for (int j = s; j >= list[i].w; j --) // s 为指定的背包体积
		dp[j] = max(dp[j],dp[j-list[i].w]+list[i].v)

// 完全背包计算顺序
for (int i = 0; i <= n; i ++)
	for (int j = list[i].w; j <= s; j ++)
		dp[j] = max(dp[j],dp[j-list[i].w]+list[i].v)