组合个数的计算公式如下:
那么,计算排列或组合的数量,通过上面的公式就很容易就算出来了,其Java的实现如下:
/** * 计算阶乘数,即n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1 * @param n * @return */ private static long factorial(int n) { return (n > 1) ? n * factorial(n - 1) : 1; } /** * 计算排列数,即A(n, m) = n!/(n-m)! * @param n * @param m * @return */ public static long arrangement(int n, int m) { return (n >= m) ? factorial(n) / factorial(n - m) : 0; } /** * 计算组合数,即C(n, m) = n!/((n-m)! * m!) * @param n * @param m * @return */ public static long combination(int n, int m) { return (n >= m) ? factorial(n) / factorial(n - m) / factorial(m) : 0; }
2、有时候,我们不仅需要知道排列或组合的数量,而且需要知道有哪些排列或组合,并列举出所有的排列或组合,人工列举工作量大而且容易出错,那么,如何利用计算机帮忙列举出所有的这些排列或组合呢?
(1)排列
采用递归即可枚举出所有的排列情况,相关Java实现如下:
/** * 排列选择(从列表中选择n个排列) * @param dataList 待选列表 * @param n 选择个数 */ public static void arrangementSelect(String[] dataList, int n) { System.out.println(String.format("A(%d, %d) = %d", dataList.length, n, arrangement(dataList.length, n))); arrangementSelect(dataList, new String[n], 0); } /** * 排列选择 * @param dataList 待选列表 * @param resultList 前面(resultIndex-1)个的排列结果 * @param resultIndex 选择索引,从0开始 */ private static void arrangementSelect(String[] dataList, String[] resultList, int resultIndex) { int resultLen = resultList.length; if (resultIndex >= resultLen) { // 全部选择完时,输出排列结果 System.out.println(Arrays.asList(resultList)); return; } // 递归选择下一个 for (int i = 0; i < dataList.length; i++) { // 判断待选项是否存在于排列结果中 boolean exists = false; for (int j = 0; j < resultIndex; j++) { if (dataList[i].equals(resultList[j])) { exists = true; break; } } if (!exists) { // 排列结果不存在该项,才可选择 resultList[resultIndex] = dataList[i]; arrangementSelect(dataList, resultList, resultIndex + 1); } } }
(2)组合
采用递归即可枚举出所有的排列情况,相关Java实现如下:
/** * 组合选择(从列表中选择n个组合) * @param dataList 待选列表 * @param n 选择个数 */ public static void combinationSelect(String[] dataList, int n) { System.out.println(String.format("C(%d, %d) = %d", dataList.length, n, combination(dataList.length, n))); combinationSelect(dataList, 0, new String[n], 0); } /** * 组合选择 * @param dataList 待选列表 * @param dataIndex 待选开始索引 * @param resultList 前面(resultIndex-1)个的组合结果 * @param resultIndex 选择索引,从0开始 */ private static void combinationSelect(String[] dataList, int dataIndex, String[] resultList, int resultIndex) { int resultLen = resultList.length; int resultCount = resultIndex + 1; if (resultCount > resultLen) { // 全部选择完时,输出组合结果 System.out.println(Arrays.asList(resultList)); return; } // 递归选择下一个 for (int i = dataIndex; i < dataList.length + resultCount - resultLen; i++) { resultList[resultIndex] = dataList[i]; combinationSelect(dataList, i + 1, resultList, resultIndex + 1); } }
3、测试
(1)完整的测试代码如下
/** * 从n个数里取出m个数的排列或组合算法实现 * @author chengesheng * @date 2016年9月28日 下午3:18:34 */ import java.util.Arrays; public class MathTest { public static void main(String[] args) { arrangementSelect(new String[] { "1", "2", "3", "4" }, 2); combinationSelect(new String[] { "1", "2", "3", "4", "5" }, 3); } /** * 排列选择(从列表中选择n个排列) * @param dataList 待选列表 * @param n 选择个数 */ public static void arrangementSelect(String[] dataList, int n) { System.out.println(String.format("A(%d, %d) = %d", dataList.length, n, arrangement(dataList.length, n))); arrangementSelect(dataList, new String[n], 0); } /** * 排列选择 * @param dataList 待选列表 * @param resultList 前面(resultIndex-1)个的排列结果 * @param resultIndex 选择索引,从0开始 */ private static void arrangementSelect(String[] dataList, String[] resultList, int resultIndex) { int resultLen = resultList.length; if (resultIndex >= resultLen) { // 全部选择完时,输出排列结果 System.out.println(Arrays.asList(resultList)); return; } // 递归选择下一个 for (int i = 0; i < dataList.length; i++) { // 判断待选项是否存在于排列结果中 boolean exists = false; for (int j = 0; j < resultIndex; j++) { if (dataList[i].equals(resultList[j])) { exists = true; break; } } if (!exists) { // 排列结果不存在该项,才可选择 resultList[resultIndex] = dataList[i]; arrangementSelect(dataList, resultList, resultIndex + 1); } } } /** * 组合选择(从列表中选择n个组合) * @param dataList 待选列表 * @param n 选择个数 */ public static void combinationSelect(String[] dataList, int n) { System.out.println(String.format("C(%d, %d) = %d", dataList.length, n, combination(dataList.length, n))); combinationSelect(dataList, 0, new String[n], 0); } /** * 组合选择 * @param dataList 待选列表 * @param dataIndex 待选开始索引 * @param resultList 前面(resultIndex-1)个的组合结果 * @param resultIndex 选择索引,从0开始 */ private static void combinationSelect(String[] dataList, int dataIndex, String[] resultList, int resultIndex) { int resultLen = resultList.length; int resultCount = resultIndex + 1; if (resultCount > resultLen) { // 全部选择完时,输出组合结果 System.out.println(Arrays.asList(resultList)); return; } // 递归选择下一个 for (int i = dataIndex; i < dataList.length + resultCount - resultLen; i++) { resultList[resultIndex] = dataList[i]; combinationSelect(dataList, i + 1, resultList, resultIndex + 1); } } /** * 计算阶乘数,即n! = n * (n-1) * ... * 2 * 1 * @param n * @return */ public static long factorial(int n) { return (n > 1) ? n * factorial(n - 1) : 1; } /** * 计算排列数,即A(n, m) = n!/(n-m)! * @param n * @param m * @return */ public static long arrangement(int n, int m) { return (n >= m) ? factorial(n) / factorial(n - m) : 0; } /** * 计算组合数,即C(n, m) = n!/((n-m)! * m!) * @param n * @param m * @return */ public static long combination(int n, int m) { return (n >= m) ? factorial(n) / factorial(n - m) / factorial(m) : 0; } }
(2)测试结果
A(4, 2) = 12 [1, 2] [1, 3] [1, 4] [2, 1] [2, 3] [2, 4] [3, 1] [3, 2] [3, 4] [4, 1] [4, 2] [4, 3] C(5, 3) = 10 [1, 2, 3] [1, 2, 4] [1, 2, 5] [1, 3, 4] [1, 3, 5] [1, 4, 5] [2, 3, 4] [2, 3, 5] [2, 4, 5] [3, 4, 5]
经验证,输出的结果正确,同预期结果相符。