排列组合 & 算法实现

Part.I 概念

排列组合的来源和用途就不多 bb 了，下面直接上概念和公式。

Chap.I 排列

从 $n$ 个不同元素中，任取 $m$($m\le n$，$m$ 与 $n$ 均为自然数，下同）个不同的元素按照一定的顺序排成一列，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个排列；从 $n$ 个不同元素中取出 $m$($m\le n$）个元素的所有排列的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的排列数，用符号 $A(n,m)$ 或 $A_n^m$ 表示。其计算公式如下：

$A_n^m=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=\frac{n!}{(n-m)!}$

Chap.II 组合

从 $n$ 个不同元素中，任取 $m$($m\le n$) 个元素并成一组，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的一个组合；从 $n$ 个不同元素中取出 $m$($m\le n$) 个元素的所有组合的个数，叫做从 $n$ 个不同元素中取出 $m$ 个元素的组合数。用符号 $C(n,m)$ 或 $C_n^m$ 表示。其计算公式如下：

$C_n^m=\frac{A_n^m}{m!}=\frac{n!}{m!(n-m)!}$；$C_n^m=C_n^{(n-m)}$

Part.II 代码实现

Chap.I 排列组合的计算

C++ 求 $A_n^m$

int An_k(int n, int k) {
    
    
	int ans=1;
	for(int i=n-k+1;i<n+1;i++) ans*=i;
	return ans;
}

Python 求 $A_n^m$

def An_k(n, k):
    ans=1
    for i in range(n-k+1,n+1): ans*=i
    return ans

---

C++ 求 $C_n^m$

int Ck_n(int n, int k)
{
    
    
    int res = 1;
    // Since C(n, k) = C(n, n-k)
    if (k > n - k)
        k = n - k;
    // Calculate value of
    // [n * (n-1) *---* (n-k+1)] / [k * (k-1) *----* 1]
    for (int i = 0; i < k; ++i) {
    
    
        res *= (n - i);
        res /= (i + 1);
    }
    return res;
}

Python 求 $C_n^m$

def Ck_n(n, k):
    # since C(n, k) = C(n, n - k)
    if(k > n - k):
        k = n - k
    # initialize result
    res = 1
    # Calculate value of
    # [n * (n-1) *---* (n-k + 1)] / [k * (k-1) *----* 1]
    for i in range(k):
        res = res * (n - i)
        res = res // (i + 1)
    return res

Chap.II 已知排列组合求 m

已知 $A_n^m$ 和 $n$ 求 $m$，因为 $A_n^n=A_n^{(n-1)}$ ，求出的 $m$ 最大是 $n-1$。

C++ 版

int An_kR(A, n) {
    
    
	if(A==n) return 1;
	if(A==1) return 0;
	int m=n;
	while(A>n) {
    
     
		A/=n--; 
		if(A==n) return m-n+1;
	}
	return -1;
}

Python 版

def An_kR(A, n):
    if A==n: return 1
    if A==1: return 0
    m=n
    while A>n:
        A/=n; n-=1
        if A==n: return m-n+1
    return -1