问题及代码：
*问题描述：
实现B-树的基本操作。基于序列{4, 9, 0, 1, 8, 6, 3, 5, 2, 7}完成测试。
（1）创建对应的3阶B-树b，用括号法输出b树。
（2）从b中分别删除关键字为8和1的节点，用括号法输出删除节点后的b树。
*输入描述：待整理的序列
*程序输出：根据题目要求输出。 #include <stdio.h>
#include <malloc.h>
#define MAXM 10 //定义B-树的最大的阶数
typedef int KeyType; //KeyType为关键字类型
typedef struct node //B-树结点类型定义
{
int keynum; //结点当前拥有的关键字的个数
KeyType key[MAXM]; //key[1..keynum]存放关键字,key[0]不用
struct node *parent; //双亲结点指针
struct node *ptr[MAXM]; //孩子结点指针数组ptr[0..keynum]
} BTNode;
typedef struct //B-树的查找结果类型
{
BTNode *pt; //指向找到的结点
int i; //1..m,在结点中的关键字序号
int tag; //1:查找成功,O:查找失败
} Result;
int m; //m阶B-树,为全局变量
int Max; //m阶B-树中每个结点的至多关键字个数,Max=m-1
int Min; //m阶B-树中非叶子结点的至少关键字个数,Min=(m-1)/2
int Search(BTNode *p,KeyType k)
{
//在p->key[1..keynum]中查找i,使得p->key[i]<=k<p->key[i+1]
int i=0;
for(i=0; i<p->keynum && p->key[i+1]<=k; i++);
return i;
}
Result SearchBTree(BTNode *t,KeyType k)
{
/*在m阶t树t上查找关键字k,返回结果(pt,i,tag)。若查找成功,则特征值
tag=1,指针pt所指结点中第i个关键字等于k；否则特征值tag=0,等于k的
关键字应插入在指针Pt所指结点中第i和第i+1个关键字之间*/
BTNode *p=t,*q=NULL; //初始化,p指向待查结点,q指向p的双亲
int found=0,i=0;
Result r;
while (p!=NULL && found==0)
{
i=Search(p,k); //在p->key[1..keynum]中查找i,使得p->key[i]<=k<p->key[i+1]
if (i>0 && p->key[i]==k) //找到待查关键字
found=1;
else
{
q=p;
p=p->ptr[i];
}
}
r.i=i;
if (found==1) //查找成功
{
r.pt=p;
r.tag=1;
}
else //查找不成功,返回K的插入位置信息
{
r.pt=q;
r.tag=0;
}
return r; //返回k的位置(或插入位置)
}
void Insert(BTNode *&q,int i,KeyType x,BTNode *ap)
{
//将x和ap分别插入到q->key[i+1]和q->ptr[i+1]中
int j;
for(j=q->keynum; j>i; j--) //空出一个位置
{
q->key[j+1]=q->key[j];
q->ptr[j+1]=q->ptr[j];
}
q->key[i+1]=x;
q->ptr[i+1]=ap;
if (ap!=NULL) ap->parent=q;
q->keynum++;
}
void Split(BTNode *&q,BTNode *&ap)
{
//将结点q分裂成两个结点,前一半保留,后一半移入新生结点ap
int i,s=(m+1)/2;
ap=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode)); //生成新结点*ap
ap->ptr[0]=q->ptr[s]; //后一半移入ap
for (i=s+1; i<=m; i++)
{
ap->key[i-s]=q->key[i];
ap->ptr[i-s]=q->ptr[i];
if (ap->ptr[i-s]!=NULL)
ap->ptr[i-s]->parent=ap;
}
ap->keynum=q->keynum-s;
ap->parent=q->parent;
for (i=0; i<=q->keynum-s; i++) //修改指向双亲结点的指针
if (ap->ptr[i]!=NULL) ap->ptr[i]->parent = ap;
q->keynum=s-1; //q的前一半保留,修改keynum
}
void NewRoot(BTNode *&t,BTNode *p,KeyType x,BTNode *ap)
{
//生成含信息(T,x,ap)的新的根结点*t,原t和ap为子树指针
t=(BTNode *)malloc(sizeof(BTNode));
t->keynum=1;
t->ptr[0]=p;
t->ptr[1]=ap;
t->key[1]=x;
if (p!=NULL) p->parent=t;
if (ap!=NULL) ap->parent=t;
t->parent=NULL;
}
void InsertBTree(BTNode *&t, KeyType k, BTNode *q, int i)
{
/*在m阶t树t上结点*q的key[i]与key[i+1]之间插入关键字k。若引起
结点过大,则沿双亲链进行必要的结点分裂调整,使t仍是m阶t树。*/
BTNode *ap;
int finished,needNewRoot,s;
KeyType x;
if (q==NULL) //t是空树(参数q初值为NULL)
NewRoot(t,NULL,k,NULL); //生成仅含关键字k的根结点*t
else
{
x=k;
ap=NULL;
finished=needNewRoot=0;
while (needNewRoot==0 && finished==0)
{
Insert(q,i,x,ap); //将x和ap分别插入到q->key[i+1]和q->ptr[i+1]
if (q->keynum<=Max) finished=1; //插入完成
else
{
//分裂结点*q,将q->key[s+1..m],q->ptr[s..m]和q->recptr[s+1..m]移入新结点*ap
s=(m+1)/2;
Split(q,ap);
x=q->key[s];
if (q->parent) //在双亲结点*q中查找x的插入位置
{
q=q->parent;
i=Search(q, x);
}
else needNewRoot=1;
}
}
if (needNewRoot==1) //根结点已分裂为结点*q和*ap
NewRoot(t,q,x,ap); //生成新根结点*t,q和ap为子树指针
}
}
void DispBTree(BTNode *t) //以括号表示法输出B-树
{
int i;
if (t!=NULL)
{
printf("["); //输出当前结点关键字
for (i=1; i<t->keynum; i++)
printf("%d ",t->key[i]);
printf("%d",t->key[i]);
printf("]");
if (t->keynum>0)
{
if (t->ptr[0]!=0) printf("("); //至少有一个子树时输出"("号
for (i=0; i<t->keynum; i++) //对每个子树进行递归调用
{
DispBTree(t->ptr[i]);
if (t->ptr[i+1]!=NULL) printf(",");
}
DispBTree(t->ptr[t->keynum]);
if (t->ptr[0]!=0) printf(")"); //至少有一个子树时输出")"号
}
}
}
void Remove(BTNode *p,int i)
//从*p结点删除key[i]和它的孩子指针ptr[i]
{
int j;
for (j=i+1; j<=p->keynum; j++) //前移删除key[i]和ptr[i]
{
p->key[j-1]=p->key[j];
p->ptr[j-1]=p->ptr[j];
}
p->keynum--;
}
void Successor(BTNode *p,int i)
//查找被删关键字p->key[i](在非叶子结点中)的替代叶子结点
{
BTNode *q;
for (q=p->ptr[i]; q->ptr[0]!=NULL; q=q->ptr[0]);
p->key[i]=q->key[1]; //复制关键字值
}
void MoveRight(BTNode *p,int i)
//把一个关键字移动到右兄弟中
{
int c;
BTNode *t=p->ptr[i];
for (c=t->keynum; c>0; c--) //将右兄弟中所有关键字移动一位
{
t->key[c+1]=t->key[c];
t->ptr[c+1]=t->ptr[c];
}
t->ptr[1]=t->ptr[0]; //从双亲结点移动关键字到右兄弟中
t->keynum++;
t->key[1]=p->key[i];
t=p->ptr[i-1]; //将左兄弟中最后一个关键字移动到双亲结点中
p->key[i]=t->key[t->keynum];
p->ptr[i]->ptr[0]=t->ptr[t->keynum];
t->keynum--;
}
void MoveLeft(BTNode *p,int i)
//把一个关键字移动到左兄弟中
{
int c;
BTNode *t;
t=p->ptr[i-1]; //把双亲结点中的关键字移动到左兄弟中
t->keynum++;
t->key[t->keynum]=p->key[i];
t->ptr[t->keynum]=p->ptr[i]->ptr[0];
t=p->ptr[i]; //把右兄弟中的关键字移动到双亲兄弟中
p->key[i]=t->key[1];
p->ptr[0]=t->ptr[1];
t->keynum--;
for (c=1; c<=t->keynum; c++) //将右兄弟中所有关键字移动一位
{
t->key[c]=t->key[c+1];
t->ptr[c]=t->ptr[c+1];
}
}
void Combine(BTNode *p,int i)
//将三个结点合并到一个结点中
{
int c;
BTNode *q=p->ptr[i]; //指向右结点,它将被置空和删除
BTNode *l=p->ptr[i-1];
l->keynum++; //l指向左结点
l->key[l->keynum]=p->key[i];
l->ptr[l->keynum]=q->ptr[0];
for (c=1; c<=q->keynum; c++) //插入右结点中的所有关键字
{
l->keynum++;
l->key[l->keynum]=q->key[c];
l->ptr[l->keynum]=q->ptr[c];
}
for (c=i; c<p->keynum; c++) //删除父结点所有的关键字
{
p->key[c]=p->key[c+1];
p->ptr[c]=p->ptr[c+1];
}
p->keynum--;
free(q); //释放空右结点的空间
}
void Restore(BTNode *p,int i)
//关键字删除后,调整B-树,找到一个关键字将其插入到p->ptr[i]中
{
if (i==0) //为最左边关键字的情况
if (p->ptr[1]->keynum>Min)
MoveLeft(p,1);
else
Combine(p,1);
else if (i==p->keynum) //为最右边关键字的情况
if (p->ptr[i-1]->keynum>Min)
MoveRight(p,i);
else
Combine(p,i);
else if (p->ptr[i-1]->keynum>Min) //为其他情况
MoveRight(p,i);
else if (p->ptr[i+1]->keynum>Min)
MoveLeft(p,i+1);
else
Combine(p,i);
}
int SearchNode(KeyType k,BTNode *p,int &i)
//在结点p中找关键字为k的位置i,成功时返回1,否则返回0
{
if (k<p->key[1]) //k小于*p结点的最小关键字时返回0
{
i=0;
return 0;
}
else //在*p结点中查找
{
i=p->keynum;
while (k<p->key[i] && i>1)
i--;
return(k==p->key[i]);
}
}
int RecDelete(KeyType k,BTNode *p)
//查找并删除关键字k
{
int i;
int found;
if (p==NULL)
return 0;
else
{
if ((found=SearchNode(k,p,i))==1) //查找关键字k
{
if (p->ptr[i-1]!=NULL) //若为非叶子结点
{
Successor(p,i); //由其后继代替它
RecDelete(p->key[i],p->ptr[i]); //p->key[i]在叶子结点中
}
else
Remove(p,i); //从*p结点中位置i处删除关键字
}
else
found=RecDelete(k,p->ptr[i]); //沿孩子结点递归查找并删除关键字k
if (p->ptr[i]!=NULL)
if (p->ptr[i]->keynum<Min) //删除后关键字个数小于MIN
Restore(p,i);
return found;
}
}
void DeleteBTree(KeyType k,BTNode *&root)
//从B-树root中删除关键字k,若在一个结点中删除指定的关键字,不再有其他关键字,则删除该结点
{
BTNode *p; //用于释放一个空的root
if (RecDelete(k,root)==0)
printf(" 关键字%d不在B-树中\n",k);
else if (root->keynum==0)
{
p=root;
root=root->ptr[0];
free(p);
}
}
int main()
{
BTNode *t=NULL;
Result s;
int j,n=10;
KeyType a[]= {4,9,0,1,8,6,3,5,2,7},k;
m=3; //3阶B-树
Max=m-1;
Min=(m-1)/2;
printf("创建一棵%d阶B-树:\n",m);
for (j=0; j<n; j++) //创建一棵3阶B-树t
{
s=SearchBTree(t,a[j]);
if (s.tag==0)
InsertBTree(t,a[j],s.pt,s.i);
printf(" 第%d步,插入%d: ",j+1,a[j]);
DispBTree(t);
printf("\n");
}
printf(" 结果B-树: ");
DispBTree(t);
printf("\n");
printf("删除操作:\n");
k=8;
DeleteBTree(k,t);
printf(" 删除%d: ",k);
printf("B-树: ");
DispBTree(t);
printf("\n");
k=1;
DeleteBTree(k,t);
printf(" 删除%d: ",k);
printf("B-树: ");
DispBTree(t);
printf("\n");
return 0;
}
运行结果：
