红黑树（一）：插入

　　红黑树跟AVL树一样，也是平衡二叉树，其查找、增加、删除效率为O(lgN)，红黑树使用非常广泛，C++STL里面的map,set都是用红黑树实现的。

　　以下就是一棵红黑树：

　　《算法导论》上定义红黑树需满足以下五个性质：

　　1.每个结点是黑色或是红色。

　　2.根结点是黑色。

　　3.所有叶子节点是黑色（也就是上面Nil结点）

　 4.如果一个节点是红色的，则它的两个子结点都是黑色的。（也就是说父子节点不能同时是红色节点）

　　5.对每个节点，从该结点到到叶子节点的路径上，均包含相同数目的黑色节点。

　　需要说明一下的是，以上Nil结点是”哨兵节点“，将所有子节点为空的指针都以此Nil节点来代替，而且根节点的父节点也是Nil节点。对于第五条，任一节点到Nil节点的黑色结点个数（包含本身及Nil节点）都相同，也就是所谓的黑高相同。

　　先来定义红黑树的节点，红黑树需要一个指示颜色的属性，用一个位bool值来表示就可以了，同时，红黑树还需要根据父节点的颜色来修复红黑树性质，因此需要指向父节点的指针。

1 struct RBTreeNode {
2     RBTreeNode* pParent;
3     RBTreeNode* pLeft;
4     RBTreeNode* pRight;
5     bool isRed;
6     int nData;
7 };

　　同时，定义红黑树的颜色值，以及Nil节点：

1 #define RBTreeNodeBlack false
2 #define RBTreeNodeRed true
3 #define RBTreeNodePtr RBTreeNode*
4 #define RBTreeNilNodePtr &RBTreeNilNode

　　本节讨论红黑树的插入，因为红黑树也是二叉搜索树，所有红黑树的插入也遵循二叉搜索树插入的过程，只是最后为了保证红黑树的性质，需要在插入后对树进行修正，就像对AVL树执行插入后再再平衡一样。

　　先来考虑一个问题，新插入一个节点时，这个新插入的节点是用红色的好还是黑色好？根据红黑树性质5，每个节点有相同黑高，如果将新插入节点的颜色设为黑色，则树会立即不满足红黑树性质，因为经过这个新插入节点的路径其黑高都会比其它路径多出一来，

　　所以，要将新插入的节点颜色设为红色，但是对于根节点是个例外。另外，当新插入一个红色节点时，红黑树性质的123都可以得到维持，只有可能破坏性质4和性质5，以下分几种情况来分别讨论新节点插入。

　　（以下节点当其左右节点为空时，都为Nil节点，并且Nil节点算在节点的黑高里面，此处为了画图简单并未将Nil节点画）

　　约定新插入节点为N，N的父节点为P，N的祖父节点为G,N的叔节点为U。

　　一、树为空

　　　　这是最简单的情况，直接将新插入节点标为黑色即可

　　二、父节点是黑色

　　　　这是最简单的情况，这个时候，因为父节点是黑色，而新插入节点是红色，所有新插入节点并没有增加经过此节点的所有路径黑高，依然满足红黑树所有性质，无需做修正处理。

　　　　（N为右节点时也是一样的）

　　三、父节点是红色

　　　　当父节点是红色时，破坏了红黑树的性质4，父子节点不能同时为红色，也正因为性质4，所以祖父节点一定是黑色，不然在插入前不满足红黑树性质4.而叔节点颜色可红可黑对于叔节点颜色按照红和黑两种情况来分开　　讨论

　　1、当叔节点颜色是红色时（N是左节点或右节点都适合此情况）

　　按上图所示，这个时候，需要将P，U和颜色和G的颜色交换，即可从局部上修正了性质4，并保持性质5，但是这个时候G的颜色由黑变红，可能G的父节点也是红色，这个时候，就要把G节点按照处理N结点的情况再处理一次。也就是向上传递修复。

　　2.当U节点是黑色，且N是左节点时

　　此时，先对G节点执行右旋转操作（不熟悉旋转操作的请看我的上一篇博客AVL树，一定要非常熟悉旋转操作才能理解红黑树），然后交换P，G节点的颜色，即可完成修复，本子树根节点G修复前是黑色，修复后，新的子树根节点P仍然是黑色，至此，修复完毕，无需向上传递。

　　3.当U节点是黑色，且N是右节点时

　　由以上由与前一种情况相比，唯一的区别是N是右子节点，所以先对P节点执行左旋转，即可转化成前一种讨论过的情况，然后按前一种情况来处理即可。

　　好了，红黑树节点的所有情况都在上面了，总的来看并不复杂，树为空和父节点为黑色这两种情况很简单，无需多言，至于下面的几种情况，总结起来就是，如何处理取决于U节点颜色

　　为红时则交换PU和G的颜色，然后再对G处理。

　　为黑时分N为左右节点情，为左节点时右旋转G，然后交换P与G的颜色，为右子节点时先左旋转P，然后再按左节点情况进行处理。

　　红黑树插入代码如下：（代码中的情况一二三四五，以图中的（1）（2）（3）（4）（5）对照）

 1 RBTreeNode* RBTreeInsert(RBTreeNode* pRoot, int nData) {
 2     if (pRoot == RBTreeNilNodePtr) {
 3         pRoot = MakeNewRBTreeNode(RBTreeNilNodePtr, nData);
 4         pRoot->isRed = RBTreeNodeBlack;
 5         return pRoot;
 6     }
 7     RBTreeNode* pCursor = pRoot;
 8     RBTreeNode* pParent = pRoot->pParent;
 9     while (pCursor != RBTreeNilNodePtr) {
10         pParent = pCursor;
11         if (nData > pCursor->nData) {
12             pCursor = pCursor->pRight;
13         }
14         else if (nData < pCursor->nData) {
15             pCursor = pCursor->pLeft;
16         }
17         else 
18             break;
19     }
20     if (pCursor == RBTreeNilNodePtr && pParent != RBTreeNilNodePtr) {
21         RBTreeNode* pNode = MakeNewRBTreeNode(pParent, nData);
22         if (nData > pParent->nData)
23             pParent->pRight = pNode;
24         else
25             pParent->pLeft = pNode;
26 
27         FixRBTreeNodeColor_Insert(&pRoot, pNode);
28     }
29     return pRoot;
30 }
31 
32 void FixRBTreeNodeColor_Insert(RBTreeNode** pRoot, RBTreeNode* pNode) {
33     if (!pNode->isRed)
34         return;
35 
36     RBTreeNode* pParent = pNode->pParent;
37     if (pParent == RBTreeNilNodePtr) {
38         //第一种情况
39         pNode->isRed = RBTreeNodeBlack;
40         return;
41     }
42     else if (!pParent->isRed || pParent->pParent == RBTreeNilNodePtr)//pParent->pParent == RBTreeNilNodePtr为第二种情况
43         return;
44     RBTreeNode* pGrandParent = pParent->pParent;
45     if (pParent == pGrandParent->pLeft) {
46         RBTreeNode* pUncle = pGrandParent->pRight;
47         if (pUncle != RBTreeNilNodePtr) {
48             if (pUncle->isRed) {
49                 //情况3：不需要旋转操作，直接交换颜色，然后往上递归检查 
50                 pParent->isRed = pUncle->isRed = RBTreeNodeBlack;
51                 pGrandParent->isRed = RBTreeNodeRed;
52                 return FixRBTreeNodeColor_Insert(pRoot, pGrandParent);
53             }
54         }
55         if (pNode == pParent->pRight) {
56             //情况5，先左旋pParent转换成情况4
57             RBTreeLeftRotate(pRoot, pParent);
58         }
59         //情况4
60         pGrandParent = RBTreeRightRotate(pRoot, pGrandParent);
61         SwapRBTreeNodeColor(pGrandParent, pGrandParent->pRight);
62     }
63     else {
64         //上面if分支的镜像
65         RBTreeNode* pUncle = pGrandParent->pLeft;
66         if (pUncle != RBTreeNilNodePtr) {
67             if (pUncle->isRed) {
68                 //情况3：不需要旋转操作，直接交换颜色，然后往上递归检查 
69                 pParent->isRed = pUncle->isRed = RBTreeNodeBlack;
70                 pGrandParent->isRed = RBTreeNodeRed;
71                 return FixRBTreeNodeColor_Insert(pRoot, pGrandParent);
72             }
73         }
74         if (pNode == pParent->pLeft) {
75             //情况5，先右旋pParent转换成情况4
76             RBTreeRightRotate(pRoot, pParent);
77         }
78         //情况4
79         pGrandParent = RBTreeLeftRotate(pRoot, pGrandParent);
80         SwapRBTreeNodeColor(pGrandParent, pGrandParent->pLeft);
81     }
82 }

红黑树（一）：插入

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