PE 559 Permuted Matrices

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Problem

PE

翻译版

Solution

122nd AC got! 先纪念一下…

对于 $P(k,n,n)$，考虑容斥，设 $r_i$ 表示有 $\lfloor \frac n k \rfloor$ 个列中有至少 $i$ 个上升列的方案数。

那么
$P(k,n,n)=\sum_{i=0}^{n/k} (-1)^i r_i$

考虑 $r_i$ 怎么求，其实就是相当于把 $n$ 个数划分成 $\lfloor \frac n k \rfloor -i$ 个块，而块内都是上升列，因此只要确定块内的元素，块内的顺序就是决定了的，假设块的大小分别为 $a_i$ ，则方案数为

$\frac {n!} {\prod a_i!}$

那么我们就得枚举各个块的大小，考虑dp。不妨设 $f[i][j]$ 表示以 $ik$ 结尾的 $j$ 块的方案数

$f[i][j]=\sum_{k=0}^{i-1}\frac {f[k][j-1]} {(len(k,r)!)^r}$

带上奇偶性一起转移即可省去第二维

可以用分治FFT转多项式求逆+任意模数NTT加速 麻烦得要死

但其实直接暴力的话复杂度是 $O(\sum_{i=1}^n (\frac n i)^2)\approx O(n^2)$，跑 $n=50000$不开O2大概需要43s。

讨论区里面min_25给了一种生成函数的做法，复杂度 $n^{1.59}$，NTT加速 $n\log^2 n$的做法，不明觉厉

Code

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int n=50000,mod=1000000123;
template <typename Tp> int getmin(Tp &x,Tp y){return y<x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> int getmax(Tp &x,Tp y){return y>x?x=y,1:0;}
template <typename Tp> void read(Tp &x)
{
	x=0;char ch=getchar();int f=0;
	while(ch!='-'&&(ch<'0'||ch>'9')) ch=getchar();
	if(ch=='-') ch=getchar(),f=1;
	while(ch>='0'&&ch<='9') x=x*10+(ch-'0'),ch=getchar();
	if(f) x=-x;
}
int m,ans,b[n+10],f[n+10],fac[n+10],inv[n+10];
int pls(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
int dec(int x,int y){return x-y<0?x-y+mod:x-y;}
int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
int power(int x,int y)
{
	int res=1;
	for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%mod)
	  if(y&1)
	    res=(ll)res*x%mod;
	return res;
}
int solve()
{
	int len;
	f[0]=fac[n];
	for(int i=1;i<=m;i++) f[i]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		len=0;
		for(int j=i-1;~j;j--)
		{
			len+=b[j+1];
			if((i-j)&1) f[i]=pls(f[i],(ll)f[j]*inv[len]%mod);
			else f[i]=dec(f[i],(ll)f[j]*inv[len]%mod);
		}
	}
	return f[m];
}
int main()
{
	fac[0]=1;
	for(int i=1;i<=n;i++) fac[i]=(ll)fac[i-1]*power(i,n)%mod;
	inv[n]=power(fac[n],mod-2);
	for(int i=n-1;~i;i--) inv[i]=(ll)inv[i+1]*power(i+1,n)%mod;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		m=0;
		for(int j=n;j;j-=b[m]) b[++m]=min(i,j);
		ans=pls(ans,solve());
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}