Dijkstra算法详细讲解

Dijkstra算法详细解释

Dijkstra算法适用于边权值为正的情况，如果边权值为负数就才用另一种最短路算法Bellman-Ford算法。

该算法是指从单个源点到各个结点的最短路，该算法适用于有向图和无向图。

复杂度O(n^2)

伪代码：

////伪代码
清楚所有点的标号
全部d[i] = INF
然后将图信息权值复制到d中
循环n次{
    在所有为标号的结点中，选出d值最小的结点x
    给x标记
    对于从x出发的所有边(x,y)，更新d[y] = min{d[y],d[y]+w(x,y)}
}

故而得到的代码模板：

void dijkstra(int u)
{
    memset(v,0,sizeof v);
    memset(dis,INF,sizeof dis);
    v[u] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        dis[i] = min(dis[i],Map[u][i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int x,m = INF;
        for(int y = 1; y <= n; y++)
            if(!v[y] && dis[y] <= m)
                m = dis[x = y];
        v[x] = 1;
        for(int y = 1; y <= n; y++)
            dis[y] = min(dis[y],dis[x]+Map[x][y] );
    }
}

数据样例：

所描绘的图为：

下面模拟一下（来源请进入）：

我们以1为源点，来求所有点到一号点的最短路径。

先建立一个dis数组，dis[i]表示第i号点到源点（1号点）的估计值，你可能会问为什么是估计值，因为这个估计值会不断更新，更新到一定次数就变成答案了，这个我们一会再说。

然后我们在建立一个临界矩阵，叫做：map，map[i][j]=v表示从i到j这条边的权值是v。

dis初始值除了源点本身都是无穷大。源点本身都是0.

先从1号点开始。一号点，map[1][2]=5,一号点离2号点是5，比无穷大要小，所以dis[2]从无穷大变成了5。顺便，我们用minn记录距离1号点最短的点，留着以后会用。

dis[0,5,∞,∞,∞]。minn=2。

然后搜到3号点，map[1][3]=8,距离是8，比原来的dis[3]的∞小，于是dis[3]=8。但是8比dis[2]的5要大，所以minn不更新。

dis[0,5,8,∞,∞]

接着分别搜索4,5号点，发现map[1][4],map[1][5]都是∞，所以就不更新。

现在，dis数组所呈现的明显不是最终答案，因为我们才更新一遍，现在我们开始第二次更新，第二次更新以什么为开始呢？就是以上一次我们存下来的，minn，相当于把2当源点，求所有点到它的最短路，加上它到真正的源点（1号点）的距离，就是我们要求的最短路。

从2号点开始，搜索3号点，map[2][3]=1，原本dis[3]=8，发现dis[2]+map[2][3]=5+1=6<dis[3](8)所以更新dis[3]为6，minn=3

dis[0,5,6,∞,∞] minn=3.

然后搜索4号点，map[2][4]=3,原本dis[4]=∞,所以，dis[2]+map[2][4]=5+3=8<dis[4](∞)所以更新dis[4]=8,因为map[2][4]=3,3>1,minn不更新。

dis[0,5,6,8,∞] minn=3.

接着搜索5号点，map[2][5]=2,5+2=7,7<∞,dis[5]=7minn不变。

dis[0,5,6,8,7]

二号点搜完，因为minn是3，继续搜索3号点。

三号点还是按照二号点的方法搜索，发现没有可以更新的，然后搜索四号。

四号搜5号点，发现8+7>5+2,所以依然不更新，然后跳出循环。

现在的估计值就全部为确定值了：

dis[0,5,6,8,7]

这就是每个点到源点一号点的距离，我们来看一下代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 500;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
int n,m,dis[maxn],Map[maxn][maxn],v[maxn];
void dijkstra(int u)
{
    memset(v,0,sizeof v);
    memset(dis,INF,sizeof dis);
    v[u] = 1;
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        dis[i] = min(dis[i],Map[u][i]);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int x,m = INF;
        for(int y = 1; y <= n; y++)
            if(!v[y] && dis[y] <= m)
                m = dis[x = y];
        v[x] = 1;
        for(int y = 1; y <= n; y++)
            dis[y] = min(dis[y],dis[x]+Map[x][y] );
    }
}
int main()
{
    int a,u,v,w;
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&a);
    memset(Map, INF, sizeof Map);
    for(int i = 0; i < m; i++)
    {
        scanf("%d%d%d",&u,&v,&w);
        Map[u][v] = w;
        Map[v][u] = w; //该图为无向图，若为有向图则需要少建立一个边信息
    }
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        Map[i][i] = 0;
    dijkstra(a);
    for(int i = 1; i <= n; i++)
        cout<<dis[i]<<" ";
    return 0;
}

上述算法采用邻接矩阵来存储边的信息，此种方法的时间复杂度为O(n^2)。

在很多情况中，图中的边并没有那么多，mlog(n) 比 n^2 小的多。m 远小于 n^2的图称为稀疏图，而 m 相对较大的图为稠密图。

稀疏图适合使用vector数组来储存，还有一种表示方法便是——邻接表。

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