算法导论 — 7.1 快速排序的描述

笔记

快速排序采用了分治的思想。对于一个数组 $A[p..r]$，调用一个PARTITION过程，将它划分为两部分 $A[p..q-1]$和 $A[q+1..r]$，使得 $A[p..q-1]$中的每一个元素都不大于 $A[q]$，而 $A[q+1..r]$中的每一个元素都不小于 $A[q]$。并且将 $A[q]$置于 $A[p..q-1]$和 $A[q+1..r]$的中间，这样 $A[q]$就已经处于正确的排序位置上了。然后分别对 $A[p..q-1]$和 $A[q+1..r]$递归执行以上过程。下面的伪代码展示了这一过程。
　　
　　快速排序的关键在于PARTITION过程，如下所示。
　　
　　上述这个 ${\rm PARTITION}(A, p, r)$过程结束之后，数组 $A[p..r]$满足： $A[p..q-1]$中的元素都小于或等于 $A[q]$， $A[q+1..r]$中的元素都严格大于 $A[q]$。下图展示了一个PARTITION的例子。
　　
　　PARTITION在数组 $A[p..r]$上的时间复杂度为 $Θ(n)$，其中 $n$为数组长度，即 $n = r-p+1$。

练习

7.1-1 参照图7-1的方法，说明PARTITION在数组A = {13, 19, 9, 5, 12, 8, 7, 4, 21, 2, 6, 11}上的操作过程。
　　解
　　
　　
7.1-2 当数组 $A[p..r]$中的元素都相同时，PARTITION返回的 $q$值是什么？修改PARTITION，使得当数组 $A[p..r]$中所有元素的值都相同时， $q=⌊(p+r)/2⌋$。
　　解
　　当数组中的元素都相同时，PARTITION返回 $q = r$。
　　当数组中所有元素都相同时，要使得返回 $q=⌊(p+r)/2⌋$，最简单的办法是在代码中检查这种情况。如果检查到这种情况，直接返回 $q=⌊(p+r)/2⌋$即可。而检查数组中所有元素是否相同，所花费的时间为 $Θ(n)$，并不会改变PARTITION的时间复杂度。

7.1-3 请简要地证明：在规模为 $n$的子数组中，PARTITION的时间复杂度为 $Θ(n)$。
　　略
　　
7.1-4 如何修改QUICKSORT，使得它能够以非递增序进行排序。
　　解
　　只需要修改PARTITION过程即可。
　　
　　
　　本节code链接：https://github.com/yangtzhou2012/Introduction_to_Algorithms_3rd/tree/master/Chapter07/Section_7.1