解析几何--面积的计算

前提提要：向量叉积以后改用 ^ 符号，重载运算符后发现表示更清晰。

	friend double operator ^ (Point a,Point b){
		return a.x*b.y-a.y*b.x;
	}

三角形面积的计算。

1.解析几何法：由众多三角形的面积公式得出的结果：

  (r是三角形内切圆半径）（R是三角形外接圆半径）

  。其中：。

2.向量叉积法：任意两边向量的叉积的绝对值的1/2即为三角形的面积。

Code：

double TriangleArea(V l1,V l2){
	return fabs((l1.end-l1.start)^(l2.end-l2.start))/2;
}

多边形面积的计算。

现在讨论简单多边形，不考虑自交多边形，计算时采用剖分思想，将其转化为求多个三角形面积的子问题集合。

有三种转化方法：

1.将多边形内的一点与多边形顶点连线，可将多边形划分成多个三角形，分别求出每个三角形的面积，累加起来即为多边形的面积。

如图，J为多边形内一点。

2.采用三角剖分的方法，取多边形的一个顶点作为剖分出的三角形顶点，三角形的其他点作为多边形上相邻的点，

由于叉乘有正有负，所以正好可以抵消掉多余的面积部分。面积的计算公式为：

如图，以A点为剖分顶点。

以B点为剖分顶点。

计算得到的面积都一样。

Code：

//简单多边形面积，由n个点构成Dots顶点集，按顺序存储。
double Poly_Area(){
	double ans=0;
	for(int i=1;i<n;++i){
		ans+=(Dots[i]-Dots[0])^(Dots[i+1]-Dots[0]);
	}return fabs(ans)/2.0;
}

若所取得的点不在多边形内，也不是多边形的顶点，而是原点时，多边形的面积公式也可以写成：

S△=1/2sigam（xi*y(i+1) - x(i+1)*yi）；

Code：

//简单多边形的面积，Dots[]为顶点集，n为多边形的顶点个数。
double Poly_Area2(){
	Dots[n]=Dots[0];
	double ans=0;
	for(int i=0;i<n;++i){
		ans+=(Dots[i])^(Dots[i+1]);
	}return fabs(ans)/2.0;
}

照例进行OJ测试：

牛客练习赛36-F：https://ac.nowcoder.com/acm/contest/328/F

前缀和+多边形面积。

ACCode：

// luogu-judger-enable-o2
//#pragma comment(linker, "/STACK:1024000000,1024000000")

#include<stdio.h>
#include<string.h> 
#include<math.h> 
   
//#include<map>  
#include<set>
#include<deque> 
#include<queue> 
#include<stack> 
#include<bitset>
#include<string> 
#include<fstream>
#include<iostream> 
#include<algorithm> 
using namespace std; 
  
#define ll long long 
#define Pair pair<int,int>
//#define max(a,b) (a)>(b)?(a):(b)
//#define min(a,b) (a)<(b)?(a):(b)
#define clean(a,b) memset(a,b,sizeof(a))// 水印
//std::ios::sync_with_stdio(false);
//  register
const int MAXN=1e5+10;
const int INF32=0x3f3f3f3f;
const ll INF64=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
const int MOD=998244353;
const double PI=acos(-1.0);
const double EPS=1.0e-12;

struct Point{
	double x,y;
	Point(double _x=0,double _y=0){
		x=_x;y=_y;
	}
	friend Point operator + (const Point &a,const Point &b){
		return Point(a.x+b.x,a.y+b.y);
	}
	friend Point operator - (const Point &a,const Point &b){
		return Point(a.x-b.x,a.y-b.y);
	}
	friend double operator ^ (Point a,Point b){
		return a.x*b.y-a.y*b.x;
	}
}Dots[MAXN];
struct V{
	Point start,end;double ang;
	V(Point _start=Point(0,0),Point _end=Point(0,0),double _ang=0.0){
		start=_start;end=_end;ang=_ang;
	}
	friend V operator + (const V &a,const V &b){
		return V(a.start+b.start,a.end+b.end);
	}
	friend V operator - (const V &a,const V &b){
		return V(a.start-b.start,a.end-b.end);
	}
}Edge[MAXN],stk[MAXN];
double Seare[MAXN];
int n;

int Parellel(const V &a,const V &b){
	return fabs((a.end-a.start)^(b.end-b.start))<EPS;
}
Point LineInterDot(const V &l1,const V &l2){
	Point p;
	double S1=(l2.end-l1.start)^(l2.start-l1.start);
	double S2=(l2.start-l1.end)^(l2.start-l1.start);
	p.x=(l1.start.x*S2+l1.end.x*S1)/(S1+S2);
	p.y=(l1.start.y*S2+l1.end.y*S1)/(S1+S2);
	return p;
}
double TriangleArea(V l1,V l2){
	return fabs((l1.end-l1.start)^(l2.end-l2.start))/2;
}
double Poly_Area(){
	double ans=0;
	for(int i=1;i<n;++i){
		ans+=(Dots[i]-Dots[0])^(Dots[i+1]-Dots[0]);
	}return fabs(ans)/2.0;
}
double Poly_Area2(){
	Dots[n]=Dots[0];
	double ans=0;
	for(int i=0;i<n;++i){
		ans+=(Dots[i])^(Dots[i+1]);
	}return fabs(ans)/2.0;
}
int main(){
	int n,q;cin>>n>>q;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		cin>>Dots[i].x>>Dots[i].y;
	}
	for(int i=1;i<n;++i){
		Seare[i]=Seare[i-1]+((Dots[i]-Dots[1])^(Dots[i+1]-Dots[1]))/2.0;
	}double sum=Seare[n-1],ans=0;
//	for(int i=1;i<n;++i){
//		cout<<Seare[i]<<" ";
//	}cout<<endl;
	while(q--){
		int a,b;double res=0;
		cin>>a>>b;
		if(a>b) swap(a,b);
		if(a+1==b) continue;
		res=Seare[b-1]-Seare[a-1];
		res-=((Dots[a]-Dots[1])^(Dots[b]-Dots[1]))/2;
		ans=max(ans,min(res,sum-res));
	}cout<<ans<<endl;
}
/*
4 2
0.5 0.5
10.5 0.5
10.5 10.5
0.5 10.5
1 3
4 2
*/