优雅的暴力——分块算法初探

如果给你一个数列 $\large a(n)$ ，已知它有1e6项，现在给你若干个指定区间，需要你分别求出它的区间和，你会怎么做？倘若用朴素算法（直接for循环一个一个加），那么只要区间数一多，区间范围一大，立马就会超时。所以我们需要一个新的算法来针对性解决这种问题。

分块查找(Blocking Search)又称索引顺序查找。它是一种性能介于顺序查找和二分查找之间的查找方法。

类似于线段树，它可以对一段数据中单个数或区间进行修改或访问。譬如引例，对于这样的一个数列，我们可以将其分为多段，假设其有x项，那么为了最低的时间复杂度，一般情况下是将其一个子段的长度设定为 $\large \sqrt{x}$ (可以根据均值不等式算出），最后一段不满这个长度的子段亦单独设定为一段，然后在处理区间的时候就可以直接利用子段的相关总数据（比如总和）来解决问题。

这个算法要怎么实现呢？

既然要分块，那么我们必须得有记录“块”的下标的一个专用数组便以查询和确立边界，block_number[amount]，这是分块的核心。其余的数组可以依据题意定义，如果要进行区间修改和区间查询的话，我们需要一个记录区间和的数组sum[amount]和一个懒惰标记数组laziness_tag[amount].
在使用分块解决问题之前还需要一点准备工作，通过循环给原数列输入数值，块下标数组的值由公式 $\large \frac{i-1}{BlockLength}+1$ 得到,（BlockLength为 $\large \sqrt{ArrayLength}$ ），同时凭据"块下标"累加当前块内 $\large a[i]$ 的值来得到区间和 $\large Sum[BlockNumber[i]]$ .
接下来的搜索分三个部分，首先是左部非完整块逐一搜索，左部的区间为[left,block_number[left]*block_length]（left到这块末尾的所有元素），再是右部非完整块逐一搜索,区间为[（block_number[right]-1）*block_length，right]最后中间的完整块逐一搜索[block_number[left]+1,block_number[right-1]（每一块都看做整体）。

笔者实现这种功能的代码如下。

int block_length,block_number[500],sum[500],arrays[500],laziness_tag[500];
    int array_length;
    void setup()
    {
        block_length=floor(sqrt(array_length));//分块长度指标
        for(int i=1; i<=array_length; i++)
        {
            cin>>arrays[i];
            block_number[i]=(i-1)/block_length+1;//块的标号
            sum[block_number[i]]+=arrays[i];//区间和
        }
    }
    void interval_modification(int limit1,int limit2,int value)
    {
        for(int i=limit1; i<=min(block_number[limit1]*block_length,limit2); i++) ///左部搜索，min（）的用意是若limit2在这一块内，则到limit2处结束，不然就到这一块的终点结束。
        {
            arrays[i]+=value;//单个值直接修改即可，不需要懒标记。
            sum[block_number[i]]+=value;//不要忘记改变区间和
        }
        if(block_number[limit1]!=block[limit2])//左右端点不在同一块上
        {
            for(int i=(block_number[limit2]-1)*block_length; i<=limit2; i++) //从上一块的末尾开始右端搜索.
            {
                arrays[i]+=value;
                sum[block_number[i]]+=value;
            }
        }
        for(int i=block_number[limit1]+1; i<=block_number[limit2]; i++)
            laziness_tag[i]+=value;//整块的值变动直接打到懒标记上即可
    }
int interval_query(int limit1,int limit2)
    {
        int ans=0;
        for(int i=limit1; i<=min(block_number[limit1]*block_length,limit2); i++)
        {
            ans+=(arrays[i]+laziness[block_number[i]);
              //这个元素的真实值是它的原值加上块懒标记的值
        }
             if(block_number[limit1]!=block_number[limit2])
                 for(int i=block_number[limit1]*block_length+1; i<=limit2; i++)
            {
                ans+=(arrays[i]+laziness[block_number[i]);
            }
             for(int i=block_number[limit1]+1; i<=block_length[limit2]-1; i++)
        {
            ans+=sum[i]+block_length*laziness[i];
         //由于把整块看做一个整体，那么懒标记也要乘以相应的倍数
        }
    }

优雅的暴力——分块算法初探

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