一、算法介绍：
- 首先，分块是一种线性的暴力数据结构。
- 其基本思想是将一段序列，分成一定数量的块，每一块有一个长度，表示一段区间。对于区间操作，通过对完整块的整体操作和对不完整块的暴力操作而使复杂度尽可能的低。当块的大小设为 sqrt(n)时间复杂度最低。
- 数据量在1e5之内，时间复杂度为o(n*√n)时算法可在1s内通过，时间复杂度为o(n*√n*log(n))时算法可在2s内通过。
- 与树状数组和线段树相比，分块简便易写，方便调试，容易理解，且具有较大的可拓展性。
二、例题分析：
1.分块一：https://loj.ac/problem/6277
利用分块算法实现数据的区间修改和单点查询o(n*√n)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+5;
int n;
int sqr;
int a[N],tag[N],bel[N]; //a单个数据点，tag数据块上的加法标记，bel数据点所属分块
void Add(int l,int r,int v)
{
for(int i=l;i<=min(r,bel[l]*sqr);i++) a[i]+=v; //暴力处理左边不完整区间
if(bel[r]==bel[l]) return;
for(int i=(bel[r]-1)*sqr+1;i<=r;i++) a[i]+=v; //暴力处理右边不完整区间
for(int i=bel[l]+1;i<=bel[r]-1;i++) tag[i]+=v; //完整区间处理，打标记
}
int main()
{
cin>>n;
sqr=(int)sqrt(n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
bel[i]=(i-1)/sqr+1; //计算数据点属于哪个分块
}
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int op,l,r,v;
scanf("%d%d%d%d",&op,&l,&r,&v);
if(op==0) Add(l,r,v);
else
{
printf("%d\n",a[r]+tag[bel[r]]);
}
}
}
2. 分块二：https://loj.ac/problem/6278
区间加法 & 查询某一区间内小于值x的数据个o(n*√n*log(n))
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+5;
int n;
int sqr;
int a[N],bel[N],tag[N];
vector<int>vis[505]; //利用动态数组储存分块数据，用lower_bound()进行二分查询
void Reset(int l) //不完整区间修改tag标记无效，需要对区间中所有数进行重构和排序
{
int j=bel[l];
vis[j].clear();
for(int i=(j-1)*sqr+1;i<=min(n,j*sqr);i++)
{
vis[j].push_back(a[i]);
}
sort(vis[j].begin(), vis[j].end());
}
void Add(int l,int r,int v)
{
for(int i=l; i<=min(r,bel[l]*sqr); i++) a[i]+=v; //不完整区间处理
Reset(l);
if(bel[l]==bel[r]) return;
for(int i=(bel[r]-1)*sqr+1; i<=r; i++) a[i]+=v;
Reset(r);
for(int i=bel[l]+1;i<=bel[r]-1;i++) //完整区间处理
{
tag[i]+=v;
}
}
int Query(int l,int r,int v)
{
int re=0;
for(int i=l;i<=min(r,bel[l]*sqr);i++)
{
if(a[i]+tag[bel[l]]<v) re++;
}
if(bel[l]==bel[r]) return re;
for(int i=(bel[r]-1)*sqr+1;i<=r;i++)
{
if(a[i]+tag[bel[r]]<v) re++;
}
for(int i=bel[l]+1;i<=bel[r]-1;i++)
{
int tmp=lower_bound(vis[i].begin(),vis[i].end(),v-tag[i])-vis[i].begin(); //log(n)的来历
re+=tmp;
}
return re;
}
int main()
{
cin>>n;
sqr=(int)sqrt(n);
for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
bel[i]=(i-1)/sqr+1;
vis[bel[i]].push_back(a[i]); //储存分块数据
}
for(int i=1; i<=(n-1)/sqr+1; i++)
{
sort(vis[i].begin(), vis[i].end()); //将每一个分块数据升序排列
}
int op,l,r,v;
for(int i=1; i<=n; i++)
{
scanf("%d%d%d%d",&op,&l,&r,&v);
if(op==0) Add(l,r,v);
else
{
printf("%d\n",Query(l,r,v*v));
}
}
}
3. 分块三：https://loj.ac/problem/6279
区间加法 & 询问某区间内小于x的最大值
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
int n;
int sqr;
int a[N],bel[N],tag[N];
vector<int>vis[505];
void Reset(int l)
{
int j=bel[l];
vis[j].clear();
for(int i=(j-1)*sqr+1;i<=min(n,j*sqr);i++)
{
vis[j].push_back(a[i]);
}
sort(vis[j].begin(), vis[j].end());
}
void Add(int l,int r,int v)
{
for(int i=l;i<=min(r,bel[l]*sqr);i++) a[i]+=v;
Reset(l);
if(bel[l]==bel[r]) return;
for(int i=(bel[r]-1)*sqr+1;i<=r;i++) a[i]+=v;
Reset(r);
for(int i=bel[l]+1;i<=bel[r]-1;i++)
{
tag[i]+=v;
}
}
int Query(int l,int r,int v) //与分块二不同的地方
{
int ans=-0x3f3f3f3f;
for(int i=l;i<=min(r,bel[l]*sqr);i++)
if(a[i]+tag[bel[l]]<v)
ans=max(ans,a[i]+tag[bel[l]]);
if(bel[l]==bel[r]) return ans;
for(int i=(bel[r]-1)*sqr+1;i<=r;i++)
if(a[i]+tag[bel[r]]<v)
ans=max(ans,a[i]+tag[bel[r]]);
for(int i=bel[l]+1;i<=bel[r]-1;i++)
{
int tmp=lower_bound(vis[i].begin(),vis[i].end(),v-tag[i])-vis[i].begin();
if(tmp==0) continue;
else
{
ans=max(ans,vis[i][tmp-1]+tag[i]);
}
}
return ans;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
sqr=(int)sqrt(n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
bel[i]=(i-1)/sqr+1;
vis[bel[i]].push_back(a[i]);
}
for(int i=1;i<=(n-1)/sqr+1;i++)
{
sort(vis[i].begin(), vis[i].end());
}
int op,l,r,v;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d%d",&op,&l,&r,&v);
if(op==0) Add(l,r,v);
else
{
int ans=Query(l,r,v);
if(ans==-0x3f3f3f3f) printf("%d\n",-1);
else printf("%d\n",ans);
}
}
}
4. 分块四：https://loj.ac/problem/6280
区间加法 & 区间求和
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e5+5;
typedef long long LL;
int n,sqr;
LL a[N],tag[N],sum[N]; //sum用于储存块内数据和，方便查询
int bel[N];
//左右不完整区间更新a[i],更新sum; 完整区间更新tag
void Add(int l,int r,int v)
{
for(int i=l;i<=min(r,bel[l]*sqr);i++)
{
a[i]+=v;
sum[bel[l]]+=v;
}
if(bel[l]==bel[r]) return;
for(int i=(bel[r]-1)*sqr+1;i<=r;i++)
{
a[i]+=v;
sum[bel[r]]+=v;
}
for(int i=bel[l]+1;i<=bel[r]-1;i++)
{
tag[i]+=v;
}
}
LL Query(int l,int r)
{
LL ans=0;
for(int i=l;i<=min(r,bel[l]*sqr);i++) ans+=a[i]+tag[bel[l]];
if(bel[l]==bel[r]) return ans;
for(int i=(bel[r]-1)*sqr+1;i<=r;i++) ans+=a[i]+tag[bel[r]];
for(int i=bel[l]+1;i<=bel[r]-1;i++) ans+=tag[i]*sqr+sum[i];
return ans;
}
int main()
{
cin>>n;
sqr=(int)sqrt(n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
bel[i]=(i-1)/sqr+1;
sum[bel[i]]+=a[i];
}
int op,l,r,v;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d%d",&op,&l,&r,&v);
if(op==0) Add(l,r,v);
else
{
printf("%d\n",Query(l,r)%(v+1));
}
}
}
5. 分块五：https://loj.ac/problem/6281
对某一区间所有数进行开方 & 区间和查询
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=5e4+5;
typedef long long LL;
int n,sqr;
LL a[N],sum[N]; //sum用于储存数据块内值的和
int bel[N];
bool avl[N]; //判断某一数据块是否还有必要进行开方处理(0,1)
void Update(int l,int r)
{
if(avl[bel[l]]) //暴力左右不完整区间
for(int i=l;i<=min(r,bel[l]*sqr);i++)
{
sum[bel[l]]-=a[i];
a[i]=sqrt(a[i]);
sum[bel[l]]+=a[i];
}
if(bel[l]==bel[r]) return;
if(avl[bel[r]])
for(int i=(bel[r]-1)*sqr+1;i<=r;i++)
{
sum[bel[r]]-=a[i];
a[i]=sqrt(a[i]);
sum[bel[r]]+=a[i];
}
for(int i=bel[l]+1;i<=bel[r]-1;i++) //对完整区间进行数据块重构
{
if(avl[i])
{
avl[i]=false;
sum[i]=0;
for(int j=(i-1)*sqr+1;j<=min(n,i*sqr);j++)
{
a[j]=sqrt(a[j]);
sum[i]+=a[j];
if(a[j]>1) avl[i]=true;
}
}
}
}
LL Query(int l,int r)
{
LL re=0;
for(int i=l;i<=min(r,bel[l]*sqr);i++) re+=a[i];
if(bel[l]==bel[r]) return re;
for(int i=(bel[r]-1)*sqr+1;i<=r;i++) re+=a[i];
for(int i=bel[l]+1;i<=bel[r]-1;i++) re+=sum[i];
return re;
}
int main()
{
cin>>n;
sqr=(int)sqrt(n);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d",&a[i]);
bel[i]=(i-1)/sqr+1;
sum[bel[i]]+=a[i];
if(a[i]>1) avl[bel[i]]=true;
}
int op,l,r,v;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%d%d%d%d",&op,&l,&r,&v);
if(op==0) Update(l,r);
else
{
printf("%lld\n",Query(l,r));
}
}
}
