解乘法逆元的三种办法

 逆元，乍一看应该是一个数和另外一个数构成了某种拮抗的关系，就像一个数和另一个数的倒数乘积总是为1，实际上，它就是在同余方程这个特殊环境下的一个数的“倒数”。

 先看一下它的官方定义：

乘法逆元，是指数学领域群G中任意一个元素a，都在G中有唯一的逆元a‘，具有性质a×a'=a'×a=e，其中e为该群的单位元

把官方定义放在一边，用经验之道来定义逆元就是：存在一个整数x,使得成立，其中(a,q)=1, a,q∈Z。

那我们怎么来求这个逆元呢？下面介绍三种办法。

1.扩展欧几里得定理

  贴一个自家广告：https://blog.csdn.net/weixin_43874261/article/details/86410519

我们知道，扩展欧几里得定理可以用来解形如 （(a,b,y,x∈Z,|a+b|>0),（a,b）为a和b的最大公约数）这样的一元二次方程，根据上边的方程可知这样的关系：(a,x,k,q∈Z），原式通过适当变换正好可以转化成这个同余方程所变成的那样，解得x的最小整数解即可。（超链接中有说，这里不详细介绍了）

2.费马小定理

这个就相当于公式法了

费马小定理(Fermat's little theorem)是数论中的一个重要定理，在1636年提出，其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a(p-1)≡1（mod p），例如：假如a是整数，p是质数，则a,p显然互质(即两者只有一个公约数1)，那么我们可以得到费马小定理的一个特例，即当p为质数时候， a^(p-1)≡1(mod p)。

我们把 与 放在一起，相比各位读者立马就可以得到这个解，求出它是很简单的，但是为了降低时间复杂度，笔者极力推荐“快速幂”算法。z

3.线性求逆元公式

1. 首先，设,
2. 则有,即
3. 两边同除,得到
4. 将a和b代回，得到

  这个办法适用于求大量逆元，上边的两个办法适用于求单个逆元。