jzoj3056-数字【数位dp,统计,容斥】

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正题

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题目大意

求有多少个 $2*n$位的数字(允许有前导零)满足

1. 只包含 $S$集合内的数字
2. 前 $n$位的和等于后 $n$位之和或者奇数位之和和偶数位之和相等

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解题思路

预处理数组 $f_{i,j}$表示 $i$位数，数字之和为 $j$时的方案数。
动态转移方程
$f_{i,j}=\sum_{k=1}^mf_{i,j-a_k}$

然后我们若不考虑两种情况重合答案就是
$2*\sum_{i=1}^n(f_{n,i})^2$

那我们考虑重合，那么就是奇数位等于偶数位之和且前 $n$位等于后 $n$位之和的情况。我们可以转换为:
前 $n$位中奇数位之和 $=$后 $n$位中偶数位之和
且
前 $n$位中偶数位之和 $=$后 $n$位中奇数位之和

这种情况就是
$(\sum_{i=1}^n(f_{n/2,i})^2)*(\sum_{i=1}^n(f_{n-n/2,i})^2)$
最终答案
$(2*\sum_{i=1}^n(f_{n,i})^2)-(\sum_{i=1}^n(f_{n/2,i})^2)*(\sum_{i=1}^n(f_{n-n/2,i})^2)$

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$code$

#pragma GCC optimize(2)
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=1010,XJQ=999983;
ll n,f[N][N*10],Z,ans,m,a[12];
char s[12];
ll C(int x)
{
	ll ans=0;
	for(int i=0;i<=x*9;i++)
		if(f[x][i])
			ans=(ans+(f[x][i]*f[x][i]))%XJQ;
	return ans;
}
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	scanf("%s",s+1);
	//double star=clock();
	m=strlen(s+1);
	for(ll i=1;i<=m;i++)
	  a[i]=s[i]-'0';
	Z=9*n;f[0][0]=1;
	for(ll i=0;i<=n;i++)
		for(ll j=0;j<=Z;j++)
		  if(f[i][j])
	      	for(ll k=1;k<=m;k++)
	      	  f[i+1][j+a[k]]=(f[i+1][j+a[k]]+f[i][j])%XJQ;
	printf("%lld",(2*C(n)%XJQ-C(n/2)*C(n-n/2)%XJQ+XJQ)%XJQ);
}