本文介绍求解图单源最短路径的Dijkstra算法的基本原理以及其正确性的证明。
1. 问题描述：
设一张有向带权图 G 包含若干顶点记为 v[1], v[2], ...；v[i] 到 v[j] 的边记为 e[i,j]，其权值记为 w[i,j]。注意，Dijkstra算法正确性要求图中没有权值为负的边。问题为求源点 v[s] 到图中其他各顶点的最短路径长度。这个问题称为图的单源最短路问题。另外，对于无向图，可以把每条边看成两条双向边；对于无权图，可以将每条边权值均视为 1。
2. Dijkstra算法的基本思路：
维护一个集合 S，它将到源点 v[s] 距离由小到大的各顶点依次包含进来。
维护一个序列 d，d(v[i]) 记录只经由当前 S 中的顶点到达 v[i] 的最短距离，v[i] 为任意 S 中尚未包含的顶点。
算法的基本流程为：
首先，在 d 中找到最小值对应的顶点 v[m]，将其加入 S。设此时 S 中已有 k 个点（包括源点本身），则 v[m] 为距离源点第 k 近的点（距离源点最近的点为它本身）。
然后，对于 v[m] 的所有尚未加入到 S 的邻接点 v[j]，更新 d(v[j])，更新更新公式为：d(v[j]) = min(d(v[j]), d(v[m])+w[m,j])。
如此直至序列 d 为空。
3. Dijkstra算法的正确性：
下面用归纳法证明Dijkstra算法的正确性。
第 1 步：S 最初只有源点 v[s]，认为源点到自身的距离为 0，则此时它是距离 S 最近的点。此时，d 中包含所有 v[s] 的邻接点，值为相应邻接边的权值。它们自然包含了所有只经由当前 S 中的顶点可以到达的非 S 内顶点的最短路径长度。
若按照上一节介绍的算法流程进行到了第 k 步，假设以下命题成立：
(1) 此时 S 包括了距离源点 v[s] 前 k 近的 k 个顶点（包含源点自身）。
(2) 对于每个尚未包含在 S 内的顶点 v[i]， d(v[i]) 记录了只经由当前 S 中的点到达 v[i] 的最短距离。
只要证明：
(1) 按照Dijkstra算法的策略，下一步加入的顶点 v[m] 为距离源点 v[s] 第 k+1 近的点。
(2) 按照对于 d 的更新策略，d 中保存了从源点到所有不属于 {S+v[m]} 的顶点的只经由 {S+v[m]} 内的顶点的最短路径长度。那么，由归纳法，可知Dijkstra算法是正确的。
· 第(1)条的证明：
由归纳假设，距离源点前 k 近的点已经包含在 S 中，我们只要证明按照Dijkstra算法策略选出的 v[m] = min{ d(v[i]), v[i] ∉ S } 是除 S 中的点外距离源点最近的点即可。可以由反证来证明，若存在另一个顶点 v[p] ∉ S，且从源点 v[s] 到 v[p] 的距离小于从源点 v[s] 到 v[m] 的距离。那么，这条最短路径上一定至少存在一个不在当前 S 中的顶点。因为，如果路径只经过当前 S 内的点，那么 d(v[p]) < d(v[m])，我们选择的就应该是 v[p] 而不是 v[m] 了。不妨设该路径上第一个不在 S 中的顶点为 v[q]，那么有
distance(s→q) + distance(q→p) < d(v[m])，distance()表示最短距离。
由于图中没有负权值的边，v[q] 不在当前 S 中，v[s] 到 v[q] 的路径只有当前 S 中的点，那么必有 d(v[q]) < d(v[m])，这与 d(v[m]) 是当前 d 中的最小值矛盾，故由反证法，要证明的第①条成立。
· 第(2)条的证明：
接下来考虑对于 d 的更新策略。S 包含了新加入的 v[m] 后，设 v[i] 为图中任一不在 S 中的顶点：
① 若 v[i] 不是 v[m] 的邻接点，那么 d(v[i]) 不用更新，因为所有只经过 S 中的点又经过 v[m] 的路径长度都不可能比只经过除 v[m] 外 S 中的点的最短路径短。因为对于这样的路径 v[s] → v[m] → v[i]，一定在 v[m] 和 v[i] 之间至少还有一个 S 中的顶点（因为 v[i] 不是 v[m] 的邻接点），不妨记其为 v[j]，那么这条路径的长度为 distance(s→m) + length(m→j) + length(j→i)，其中，distance(s→m) 表示从 v[s] 到 v[m] 的最短距离，而 length(m→j) 表示只经由 S 中的顶点从 v[m] 到 v[j] 的最短距离。因为 v[j] 是在 v[m] 之前加入 S 的，那么一定存在一条由 v[s] 到 v[j] 不经过 v[m] 的通路，且 distance(s→j) < distance(s→m)，那么经由这条通路到达 v[j] 然后再到达 v[i] 一定更短（长度为 distance(s→j) + length(j→i)）。故包含 v[m] 的不是最短路径，不需要更新。
② 若 v[i] 是 v[m] 的邻接点，那么 v[s] 只经过 S 中的点到达 v[i] 的路径只有两类：一种是完全不包含 v[m]，一种是 v[s] → v[m] → v[i]。对于第一种最短路径的长度就是当前的 d(v[i])。对于第二种路径，我们只需考虑 v[m] 是 v[i] 前一个点的路径，这样的路径长度为 distance(s→m) + w[m,i] = d(v[m]) + w[m,i]。因为若 v[m] 和 v[i] 间还存在某一 S 中的顶点 v[j]，即路径的形式是这样的：v[s] → v[m] → v[j] → v[i]，那么该路径的长度为 distance(s→m) + length(m→j) + length(j→i) > distance(s→j) + length(j→i)，不等式右侧是一条不包含 v[m] 的路径长度。因此，对于 v[m] 的某个不在 S 中的邻接点 v[i]，只要更新 d(v[i]) = min(d(v[i]), d(v[m])+w[m,i])，即可保证此时 d(v[i]) 为从 v[s] 开始只经过新加入了 v[m] 的 S 中的顶点到达 v[i] 的最短路径长度。
综上，我们用归纳法证明了Dijkstra算法的正确性。
4. 实现技巧：
若用线性结构维护 d，那么虽然更新 d(v[i]) 可以常数时间 O(1) 完成，但是查找最小值需要线性时间 O(|V|)，|V|为图中顶点的个数。这样，Dijkstra算法的复杂度为 O(|V|2)。
可以用一个堆（优先队列）来维护 d，这样更新和查找都可以在O(log|V|)时间内完成。此时，Dijkstra算法的复杂度为 O(|E|log|V|)（最坏的情况，每条边都要更新 d）。其中，|E|为图中边的数量。