Leetcode 29. Divide Two Integers 两数相除

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题目地址： https://leetcode-cn.com/problems/divide-two-integers/

题目描述

给定两个整数，被除数 dividend 和除数 divisor。将两数相除，要求不使用乘法、除法和 mod 运算符。

返回被除数 dividend 除以除数 divisor 得到的商。

示例 1:

输入: dividend = 10, divisor = 3
输出: 3

示例 2:

输入: dividend = 7, divisor = -3
输出: -2

说明:

被除数和除数均为 32 位有符号整数。
除数不为 0。
假设我们的环境只能存储 32 位有符号整数，其数值范围是 [−2³¹, 2³¹− 1]。本题中，如果除法结果溢出，则返回 2³¹− 1。

算法思想

转化法

因为题目要求不能使用除法或者乘法做，所以要转化为加减法，而我们之前学习过对数可以把除法转化为减法：

$\frac{a}{b}=e^{ln\frac{a}{b}}=e^{lna-lnb}$ 于是出除法就转换为了普通的减法了以及指数运算了，而题目并没有说不能使用指数运算，所以运行通过。

只是要注意一个是符号问题，我们先都转化为正数，之后通过判断来定符号，还有就是判断溢出。

移位法

这个方法是基于一种计算，通过观察我们发现任何一个数都能拆分成如下的样式：

10 -> $2^1 * 3 + 2^0 * 3 $-> $\frac{10}{3} = 2^1 + 2^0 = 3$
10 -> $2^2 * 2 + 2^0 * 2 $-> $\frac{10}{2} = 2^2 + 2^0 = 5$
10 -> $2^3 * 1 + 2^1 * 1 $-> $\frac{10}{1} = 2^3 + 2^1 = 10$

所以我们能对被除数进行分解，比如10和2，首先我们确定2的最高次的系数，而 $10 >2* 2^2$ 但是 $10<2* 2^3$ 所以确定了最高次数为2，庵后用10 减去2* 2^2，然后做同样的动作，然后我们把所有系数加起来即最后结果。而对于乘2的指数都可以转为移位操作。所以得解。

python代码

转化法

import math
class Solution(object):
    def divide(self, dividend, divisor):
        """
        :type dividend: int
        :type divisor: int
        :rtype: int
        """
        # 除法转为指数和对数减法
        if dividend ==0:
            return 0

        a = abs(dividend)
        b = abs(divisor)
        res = math.exp(math.log(a)-math.log(b))
        # ^ 异或 两个异号的话，两个条件肯定一个为假，一个为真 则异或为真
        if (divisor>0) ^ (dividend>0): res = -res
        if res >2**31-1: res = 2**31-1
        if res<-2**31: res = -2**31
        return int(res)

移位法

class Solution(object):
    def divide(self, dividend, divisor):
        """
        :type dividend: int
        :type divisor: int
        :rtype: int
        """
        # 转为移位运算
        a = abs(dividend)
        b = abs(divisor)
        res = 0
        # 如果a<b 则必定为0
        while a>=b:
            tmp = b
            cur = 1
            while a>(tmp<<1):
                # tmp = tmp *2
                tmp = tmp<<1
                cur=cur<<1
            a-=tmp
            res+=cur

        # ^ 异或 两个异号的话，两个条件肯定一个为假，一个为真 则异或为真
        if (divisor>0) ^ (dividend>0): res = -res
        if res >2**31-1: res = 2**31-1
        if res<-2**31: res = -2**31
        return res

参考

https://zhuanlan.zhihu.com/p/47708379