Jzoj P4254 集体照___计数dp

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题目大意：

有 $n$个班(从 $1$开始编号)，每个班的人数为 $a_i$，现在他们要排集体照，有 $2$个要求。
①所有学生站一排。
②相邻两个学生不能同班。
问满足的排列的方案总数，答案对 $1e9+7$取模

$1<=n<=50,1<=a_i<=50, \sum_{i=1}^{n}a_i<=1500$

分析：

考虑计数 $dp$，
令 $dp_{i,j}$表示前 $i$个班，有 $j$个空隙是两边同班的排列的方案总数。
此时我们不考虑同班内人的不同，我们把一个班内的当成同类人，最后的结果只需要乘上 $\prod_{i=1}^{n}a_i!$即可，因为每个班在满足序列合法的情况下可以由不同的排列方式。
初值: $dp_{1,a_1-1}=1$
假如第 $i+1$个班，我将其分为 $k$组，用其中的 $l$组人去插入这 $j$个空隙，
这时我令 $sum_i$为前 $i$个班的人数之和
则可以推出转移方程：
$dp[i+1][j+(a_{i+1}-1)-(k-1)-l]+=dp[i][j]*C_{j}^{l}*C_{a_{i+1}-1}^{k-1}*C_{sum_{i}+1-j}^{k-l}$
$j+(a_{i+1}-1)-(k-1)-l$,加入了 $a_{i+1}$个同班人以后，多了 $a_{i+1}-1$个满足两边同班的空隙，将其分为 $k$组，此时少了 $(k-1)$个满足两边同班的空隙，用 $l$组人去分别在 $j$个满足两边同班的空隙中选 $l$个隔开，此时少了 $l$个满足两边同班的空隙
$C_{j}^{l}$： $j$个空隙中任选 $l$个插入的方案数
$C_{a_{i+1}-1}^{k-1}$： $a_{i+1}$个数分成 $k$组的方案数(插板法)
$C_{sum_{i}+1-j}^{k-l}$：在剩余位置中插入 $k-l$组数，即 $sum_i+1$个空隙中分别(左右两边也行)插入 $k-l$组数的方案数

最后的答案就是 $dp_{n,0}*\prod_{i=1}^{n}a_i!$

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <queue>
#include <cstring>
#include <algorithm>

#define M 1505
#define N 55

using namespace std;

typedef long long ll;

const int modn = 1e9 + 7;

ll dp[N][M], C[M][M], sum[N], jc[M], a[N], mul;
int n;

void Pre_Work()
{
	jc[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= 1500; i ++) jc[i] = (ll)jc[i - 1] * i % modn;
	C[0][0] = 1;
	for (int i = 1; i <= 1500; i ++)
	{
		C[i][0] = 1;
		for (int j = 1; j <= i; j++) C[i][j] = ((ll)C[i - 1][j - 1] + C[i - 1][j]) % modn;
	}
}

int main(){
	freopen("photo.in", "r", stdin);
	freopen("photo.out", "w", stdout);
	scanf("%d", &n);
	Pre_Work();
	mul = 1;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		scanf("%lld", &a[i]), 
		sum[i] = sum[i - 1] + a[i], mul = mul * jc[a[i]] % modn;
		
	dp[1][sum[1] - 1] = 1; 
	for (int i = 1; i < n; i++)
		for (int j = 0; j < sum[i]; j++) 
		    if (dp[i][j])
			   for (int k = 1; k <= a[i + 1]; k++)
			      for (int l = 0; l <= min(k, j);  l++)
				      dp[i + 1][j + a[i + 1] - k - l] = 
					    ((dp[i + 1][j + a[i + 1] - k - l] % modn + dp[i][j] * C[j][l] % modn * C[a[i + 1] - 1][k - 1] % modn * C[sum[i] - j + 1][k - l]) % modn + modn) % modn;
    printf("%lld\n", ((dp[n][0] * mul) % modn + modn) % modn);
	return 0;
}