回溯法（深度优先法）速解

算法解题部件：

根据问题定义解空间，这可以类似于概率论中的样本空间S，空间中包含所有的可能结果，多以n叉树实现；

约束条件，对解空间中的解做出约束，以缩减搜索解空间成本，避免不必要的搜索；

界限条件，根据约束条件，我们可以找到问题的所有可行解，当需要求得最优解是，我们需要设置界限条件，即当满足该条件时，我们可能找到最优解。

当我们需要找到所有可行解的时候，则只需要设定约束函数即可，若要求最优解，就需要两条件同时上阵了！

下面我们以对简单的0-1背包问题为例，学习回溯法：

题目：海盗先生驾着海盗船发现了一处宝藏之地，每件宝物i对应价值为vi，重量为wi，但是海盗们不太高兴，因为他们的船只能容纳重W的宝物了，而且宝物要是打碎了，就不值钱了，请你设计一个算法，帮助海盗计算如何装载，可以获得最大价值？

问题分析&算法设计

很明显，在n个宝物中选择几个宝物带走，即从集合S中选择一个子集，要求子集的总重量不超过W，而且价值最大

定义解空间： 针对于S中的每一个宝物，只会存在“拿”（1）与“不拿”（0）的问题，由此，我们可以得出解空间为{x1,x2,x3.....xn}，其中xi=0/1；不难看出，解空间中一共有2^n种可能解，我们可以将解空间定义为深度为n的二叉树）（取左为1，取右为0）。

约束条件： 判断装上船的宝物总重量是否超出船容量，如果超出，就不在向下衍生。

界限条件： 在解空间中，对于任意一个中间节点来说，从根节点到此节点所代表的宝物状态（是否装入）已经确定，而此节点往后的宝物是不确定的，我们用cp表示已经确定的宝物总价值，用rp表示未确定的宝物的总价值，不难看出cp+rp即为经过此节点的可行解的最大价值！如果最大价值小于等于当前记录的最优解，说明从此节点继续向下搜索不可能得到更优解，无须继续搜索；反之则应继续向下搜索。

搜索过程中，沿着拓展节点的左分支拓展，表示装入宝物。由此可知，我们在拓展时应该判断约束条件是否成立，成立则左，不成立则右。

在每个节点判断界限条件，若不成立，则该节点为死结点，无须向下搜索。

代码示例：

#include <iostream>
#include <string>
#include <algorithm>
#define M 105
using namespace std;

int i, j, n, w;  //n表示n个物品，w表示船容量
double W[M], V[M];
bool x[M];     
double cw, cp, bestp;  //cw，cp为当前船重量与价值，bestp为当前为止最优的价值记录
bool bestx[M];  //当前最优问题解

//计算已确定的物品和剩余的物品总价值
double Bound(int i)
{
	int rp = 0;
	while (i <= n)
	{
		rp += V[i];
		i++;
	}
	return cp+rp;
}

//用于
void Backtrack(int t)
{
	if (t > n)//到达树末的叶子
	{
		for (j = 1; j <= n; j++)
		{
			bestx[j] = x[j];
			//保存当前最优解,为什么不用判断就直接保存呢？因为有Bound的关系，能走到叶子，必然比之前的最优解更优
		}
		bestp = cp;
		return;
	}
	if (cw + W[t] <= w)
	{
		x[t] = 1;
		cw += W[t];
		cp += V[t];
		Backtrack(t + 1);
		cw -= W[t];
		cp -= V[t];
	}
	if (Bound(t+1) > bestp)   //判断是否搜索右子树
	{
		x[t] = 0;
		Backtrack(t + 1);
	}
}

void Knapsack(double w, int n)
{
	//初始化
	cw = 0; cp = 0;
	bestp = 0;
	double sumw = 0.0;
	double sumv = 0.0;  //用于记录所有物品的总重量和总价值
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		sumw += W[i];
		sumv += V[i];
	}
	if (sumw <= w)
	{
		bestp = sumv;
		cout << "所有物品均放入背包，最大价值为: " << bestp << endl;
		return;
	}

	//开始搜索
	Backtrack(1);
	cout << "放入船的最大价值为: " << bestp << endl;
	cout << "放入的物品的序号为: ";
	for (i = 0; i <= n; i++)
	{
		if (bestx[i] == 1)
		{
			cout << i << " ";
		}
	}
	cout << endl;
}

int main()
{
	cout << "请输入物品的个数n: ";
	cin >> n;
	cout << "请输入船的容量w: ";
	cin >> w;
	cout << "请依次输入每个物品的重量和价值，以空格分开: ";
	for (i = 1; i <= n; i++)
	{
		cin >> W[i] >> V[i];
	}
	return 0;
}

回溯法（深度优先法）速解

猜你喜欢