【转载】最短路径算法之AStar算法(一) AStar算法的证明

原文地址：

https://blog.csdn.net/jiaoyong2011/article/details/6270193

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本文并不试图对A Star算法进行一个入门式的讲解，因为光是那个讲解就有可能会占据很长的篇幅，而且网上已经有讲解的文章，讲的肯定比我好。所以，本文是面向已经对A Star算法有了一定了解的人。如果各位对A Star算法还不睡很了解，那么请参考我下面列出的几篇文章：

1，http://apps.hi.baidu.com/share/detail/16593767

这篇文章详细讲解了A Star算法，是一片很好的入门文章。读者如果有兴趣还可以参看它的英文原文。

2，http://blog.csdn.net/sworder_001/archive/2006/09/27/1297501.aspx

这篇文章有A Star算法的伪代码，和上面文章的伪代码有所不同，细心的读者一定可以看出来。本文稍后会讨论这个不同。

好了，到了这里，我假设读者已经对S Star算法有了较好的理解。

在讲解A Star算法前，先定义一下文章中使用的符号和术语。

图G代表了某个要在其上寻找最短路径的图，start为起点，end为终点。
有某条路径path，其上的某两点为M和N，则令符号Ppath(M-N)为在路径path上从点M到点N的路径值。那么，Ppath(start-end)就是路径path的值。

α(N)为在图G中从start到N的最短路径值。
β(N)为G图中从N到end的最短距离。
w(x,y)为边(x，y)的权值。
对于某条有向边(M，N)，M是N的前驱节点，N是M的后继节点。

AStar算法是从起点开始一步步的往终点探索。他有两个链表open链表和close链表。每探索（本文称之为“扩展”）一个点N时，就获取了N的所有的后继节并且把他们放到open链表中，并且把点N放到close链表中。AStar算法每从open链表中选取一个点进行扩展，选取的原则就是每个节点的评估函数。

评估函数F(N)=G(N)+H(N)。通过评估函数，每个节点都有一个评估值。G(N)代表了在一步步扩展的过程中，从start到点N的距离，H(N)代表了从点N到end的最短距离的估计值，注意，这里说的是估计值，当然是因为最短距离无法得知，所以只能估计了。通过这个评估函数我们可以看出来，节点的评估值代表了通过该节点从起点到终点的最短路径的一个估计值。
H函数随着图的不同而不同。

AStar算法的伪代码如下：
假设对于某个节点N而言，H函数值为H(N)。

建立一个数据结构Node：
struct Node{
    int g;   //该节点的g值
    int h;   //该节点的h值
    int f;   //该节点的f值
    Node* pre;  //该节点的前驱节点
};

AStar_Search(){
    struct  Node  start_node;
    start_node.g = 0;
    start_node.h = H(start);
    start_node.f = start_node.h;
    start_node.pre = NULL;

 

    OPEN链表 = [start_node]; CLOSE链表 = [];

 

    while ( OPEN链表非空 ) {
        从OPEN链表中取得F值最小的Node,称之为x_node，对应的节点称之为为x；
        从OPEN链表中删除x_node；

 

        if (x是end节点){
            根据每个节点对应的node结构的pre指针，返回路径；
        }

 

        for (x的每一个后继节点y){
            struct  Node  y_node;
            y_node.g = x_node.g+w(x,y);
            y_node.h = H(y);
            y_node.f = y_node.g+y_node.h;
            y.pre = x_node;

 

            if( y不在OPEN表 and 不在CLOSE表中){
                把y_node放到OPEN表中；
            }else  if( y在OPEN表中){
                取出OPEN表中的y节点对应的Node结构，称之为y_open；

 


                if( y_node.f小于y_open.f) {               //程序注意点1
                    y_open.g=y_node.g;
                    y_open.h=y_node.h;
                    y_open.f =y_node.f;
                    y_open.pre = y_node.pre;
                }
            }else{              //y在CLOSE表中
                取出CLOSE表中的y节点对应的Node结构，称之为y_close；


                if(y_node.f小于y_close.f){              //程序注意点2
                    将y_close从CLOSE链表中删除
                    把y_node放到OPEN表中；
                }
            }
        }  //end  for

 

 

        将x_node放入到CLOSE表中；
    }    //end  while
}    // end  AStar_Search

设点N为图中的一个点，如果H(N)<= β(N)，那么用A Star算法找出来的路径就是最短路径。否则，只能是近似的最短路径，而并非最短路径。

个人认为，算法中有两个隐含的前提：
1. H(end)=0，也就是说，终点的H函数的估计值为0，这是显而易见的。
2. H函数不会随着算法的进行而发生变化，也就是说，对于某个节点N而言，H(N)的值是不变的。

我们来证明这个算法，就是说当H(N)<= β(N)时，算法找出来的是最短路径。

引理1：

令某条路径stp是图G中的最短路径，点N是这条路上的任意一点，则Pstp(start-N)= α(N)。
证明很简单，假设从start到点N存在一条更短的路径，其路径值为P(start-N)，就是说P(start-N)< Pstp(start-N)。Pstp(start-end)= Pstp(start-N)+ Pstp(N-end)。那么用这条更短的路径替换掉路径stp中从起点start到点N的路径，得到一个新的路径，令其为stp’。那么Pstp' (start-end)= P(start-N)+ Pstp(N-end)< Pstp(start-N)+ Pstp(N-end)= Pstp(start-end)。因此，这个新的路径的值肯定更短，这与stp是最短路径矛盾，因此，Pstp(start-N)= α(N)。

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ps: 感觉有些小问题：个人观点：

为证明： Pstp(start-N)= α(N)

已知： N为start点到end点最短路径上的一点，有 Pstp(start-end)= α(N) + β(N)

假设从start到点N存在一条最短的路径，该路径不为 α(N)，其路径值为P(start-N)，即 Pstp(start-N)=P(start-N)< α(N)

那么必有

Pstp(start-end)=α(N) + β(N) > Pstp(start-N) + β(N)

也就是说必有另一条通过N点的从start点到end点的路径小于最短路径Pstp(start-end) ，这与已知条件相悖，故可证。

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引理2：

令某条路径stp是最短路径，N是这条路上的任意一点，则Pstp(N-end)=β(N)
证明方式和引理1相同。

引理3：

令某条路径stp是最短路径，N是这条路上的任意一点，每个节点的H函数值不变，令G(N)= Pstp(start-N)，则此时得到的F(N)为最小值，并且，如果H(N)<=β(N)，则F(N)<= Pstp (start-end)。
证明很简单，F=G+H。在H函数值不变的前提下，F函数值的大小就看就看G函数值的大小。根据引理1，Pstp(start-N)为从start到点N的最短值。因此，F(N)= Pstp(start-N)+H(N)为最小值。Pstp (start-end)= Pstp (N-S1)+ Pstp (N-end)= Pstp (N-S1)+ β(N)(根据引理2)>= Pstp (N-S1)+ H(N)=F(N)。

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