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Oja's rule
这俩天看了Oja的俩篇论文，被其中的证明弄得云里雾里，但愿我的理解没有出太大问题吧。
Oja's rule Wiki
Oja's rule 知乎
- A Simplified Neuron Model as a Principal Component Analyzer
- On Stochastic Approximation of Eigenvectors and Eigenvalues of the Expectation of a Random Matrix
背景
貌似是关于神经网络，权重的无监督训练的。有趣的是，由这个出发点，可以得到一种关于stream PCA的算法，即Oja's rule。
Hebbian learning
在Hebb的假说中，对于权重的调整为：
\(\bigtriangleup w_i = \eta x_iy\)
where:
\(y = \mathop{\sum}\limits_{j}w_jx_j\)
在stream PCA表述为这样的算法:
\(\widetilde{X}_k = X_{k-1} + A_kX_{k-1}\varGamma_k\)
\(X_k = \widetilde{X}_kR_k^{-1}\)
where:
\(X_k\)就是每一次迭代所得的正交矩阵，\(A_k\)为随机矩阵，在stream PCA里面，一般\(A_k = z_kz_k^{\top} \in \mathbb{R}^{d \times d}\)， \(\varGamma_k\)是一个对角矩阵，每个对角元素表示对应列向量的学习率。\(R_k^{-1}\)怎么说呢，\(X_k=QR\)这个\(QR\)分解，\(R_k^{-1}\)就是\(R\)的逆。
当只需要最大特征值所对应的特征向量的时候:
\(\widetilde{x}_k = x_{k-1} + \gamma_kA_kx_{k-1}\)
\(x_k = \widetilde{x}_k/\|\widetilde{x}_k\|\)
这个式子到底啥含义呢，为什么会这样呢？
Oja给出的分析是（大概是这样）：
\(x_k\)关于\(\gamma_k\)的泰勒展式(只到一次项)是：
\(x_k = x_{k-1} + \gamma_k[A_kx_{k-1}-(x_{k-1}^{\top}A_kx_{k-1})x_{k-1}] + \gamma_kb_k\)
where:
\(b_k = o(\gamma_k)\)这个地方我有个疑问，不知道是我对论文的理解不对还是如何，我觉得如果\(b_k = o(\gamma_k)\)，那么前面就不必再乘上个\(\gamma_k\)了。
还要注意的一点是，上面的推导用到了:\(\|x_{k-1}\|=1\)的条件。
上面的式子还可以有另外一种写法:
\(x_k = x_{k-1} + \gamma_k[Ax_{k-1}-\frac{(x_{k-1}^{\top}Ax_{k-1})}{x_{k-1}^{\top}x_{k-1}}x_{k-1}] +\gamma_k[(A_k-A)x_{k-1}-(x_{k-1}^{\top}(A_k-A)x_{k-1})x_{k-1}] + \gamma_kb_k\)
这个式子只是对上面的加项减项处理，并不难推导。注意，请想象\(E(A_k) = A\)
保留右边前俩项:
\(\bigtriangleup x_k \approx \gamma_k[Ax_{k-1}-\frac{(x_{k-1}^{\top}Ax_{k-1})}{x_{k-1}^{\top}x_{k-1}}x_{k-1}]\)
连续情况下就可以得到形如下面的微分方程:
\(\frac{dz}{dt}=Az-\frac{(z^{\top}Az)}{z^{\top}z}z\)
微分方程的内容我忘得差不多了，这个方程的解法大概是这样的:
\(z := \mathop{\sum}\limits_{i}\eta^{(i)}(t)c_i\)
where:
\(c_i\)是矩阵\(A\)的按特征值由大到小排列的单位特征向量。
这时，上面的微分方程可以分解为\(d\)（论文里纬度是\(n\)）个子微分方程：
\(\frac{d\eta^{(i)}}{dt}=\lambda^{(i)}\eta^{(i)}-\frac{(z^{\top}Az)}{z^{\top}z}\eta^{(i)}\)
令：\(\zeta^{(i)}=\eta^{(i)}/\eta^{(1)}\) (\(\eta^{(1)}(t) \neq \mathbf{0}\)),容易推得（是真的不是假的）:
\(\frac{d\zeta^{(i)}}{dt}=(\lambda^{(i)} - \lambda^{(1)})\zeta^{(i)}\)
可以推得其解为:
\(\zeta^{(i)}(t)=exp[(\lambda^{(i)} - \lambda^{(1)})t]\zeta^{(i)}(0)\)
从这个式子可以看到，只要\(\eta^{(1)} (t)\neq \mathbf{0}\)，那么其他成分，随着时间的增长，会趋于0，所以最后\(z\)会成为\(c_1\)。
上面的算法的内涵就是其线性主部满足这个性质。上面微分方程还有另外一个性质:
\(\|z(0)\|=1\)则\(\|z(t)\|=1,t>0\)(通过求导，导数为0可以验证！)
这也就是说，我们只要保证第一次，后面的大小也可以同样保证。当然，这些条件是在连续情况下推导的，实际在离散的情况下，我们要求\(\gamma_k\)足够小。
主要的一些理论
论文里面一些主要的假设
我不怎么理解的地方是这个unit multiplicity，是特征值是唯一的吗(从证明中看似乎是这样的)？
引理1
引理2
引理3
(7) (8)就是上面的\(x_k\)的迭代算法:
\(\widetilde{x}_k = x_{k-1} + \gamma_kA_kx_{k-1}\)
\(x_k = \widetilde{x}_k/\|\widetilde{x}_k\|\)
定理1
下面Oja开始讨论\(X_k\)的迭代算法:
LEMMA 3（ALL）
（1）（2）是关于\(X_k\)的迭代算法。
引理 4
定理 2
定理 3（关于特征值）
关于\(\sigma\)的迭代算法，即（3）：
\(\sigma_k^{(i)}=(1-\gamma_k)\sigma_{k-1}^{(i)}+\gamma_k(x_{k-1}^{(i)}A_kx_{k-1}^{(i)})\)
Oja's rule
Oja's rule 是对 Hebbian learning 的改进:
可以发现，其实Oja's rule就是取了前面的线性主部。
相应的微分方程变为:
\(\frac{dz}{dt}=Az-(z^{\top}Az)z\)
性质有所欠缺，但是，在一定条件下依然可以保证一些良性。
引理 5（关于\(\gamma_k\)的选择）
定理 3
注意，当推广到求解\(X_k\)的时候有俩种:
(29)的列不一定是相应的特征向量，但列所构成的子空间是一致的！
数值实验
我们先用均匀分布产生一个基础向量x，再在其上添加由标准正态分布所生成噪声，得到一串向量，来模拟数据。
dfv1: Hebbian方法得到的向量与特征向量的cos值
dfv2: Oja方法得到的向量与特征向量的cos值
dfx1: Hebbian方法得到的向量与x的cos值
dfx2: Oja方法得到的向量与x的cos值
dfAx: x与特征向量的cos值
用Oja's rule 大概80次就能到达0.90的水准，与x的差距也不大，有7次比特征向量还要好！而Hebbian learning 大概300次。当然，这可能与我对步长的调整有关系，但是说实话，我已经尽力了。
代码
import numpy as np
def Oja_rule_1(x_old, z, r): #实际上好像不是Oja's 修正Hebbian learning
x = x_old + r * np.dot(x_old, z.T.dot(z))
x = x / np.sqrt(x @ x)
return x
def Oja_rule_2(x_old, z, r):
x = x_old + r * (x_old @ (z.T @ z) - x_old @ (z.T @ z) @ x_old * x_old)
return x
def D2D(x, y): #计算cos值，Oja的论文用的是2范数
return abs(x @ y)
def Main(d, n):
x = np.array([np.random.rand() for i in range(d)])
x = x / np.sqrt(x @ x)
A = np.array([ x + [np.random.randn() for j in range(d)] for i in range(n)])
#以上是生成数据
A_vector = np.linalg.eig(A.T.dot(A))[1][:,0] #数据的主特征向量
x_new_1 = np.array([np.random.rand() for i in range(d)])
#print(x_new_1)
x_new_1 = x_new_1 / np.sqrt(x_new_1 @ x_new_1)
x_new_2 = x_new_1
for i in range(n):
z = A[i,:]
r1 = np.log(i + 2) / (i + 1) # 按照论文的理解，是不需要加乘上log部分的，可是不加log部分的效果也忒差了
r2 = 2 / max((3 * z @ z), i + 1)
z.resize(1,len(z))
x_new_1 = Oja_rule_1(x_new_1, z, r1)
x_new_2 = Oja_rule_2(x_new_2, z, r2)
x_new_2 = x_new_2 / np.sqrt(x_new_2 @ x_new_2)
dfv1 = D2D(A_vector, x_new_1)
dfv2 = D2D(A_vector, x_new_2)
dfx1 = D2D(x, x_new_1)
dfx2 = D2D(x, x_new_2)
dfAx = D2D(A_vector, x)
return dfv1, dfv2, dfx1, dfx2, dfAx
def Summary(times, d, n):
print('{0:^20} {1:^20} {2:^20} {3:^20} {4:^20}'.format('dfv1', 'dfv2', 'dfx1', 'dfx2', 'dfAx'))
print('{0:-<20} {0:-<20} {0:-<20} {0:-<20} {0:-<20}'.format(''))
M = np.array([0.] * 5)
Better = 0
for time in range(times):
result = Main(d, n)
M += result
if result[-2] > result[-1]:
Better += 1
print('{0[0]:^20.3f} {0[1]:^20.3f} {0[2]:^20.3f} {0[3]:^20.3f} {0[4]:^20.3f}'.format(result))
print('{0:-<20} {0:-<20} {0:-<20} {0:-<20} {0:-<20}'.format(''))
print('{0[0]:^20.3f} {0[1]:^20.3f} {0[2]:^20.3f} {0[3]:^20.3f} {0[4]:^20.3f}'.format(M / times))
print('{0:-<20} {0:-<20} {0:-<20} {0:-<20} {0:-<20}'.format(''))
print('{0:<10} {1:<10} {2:<10} {3:<10} {4:<10} {5:<10}'.format('Count:', times, 'n:', n, 'd:', d))
print('{0:<10} {1:<20}'.format('Better:', Better))
Summary(30, 15, 300)