第70届（2019）IMO中国国家队选拔考试试题

(几何除外)
1,几何，略
2,给定n≥3，是否存在无穷个2n元集{a1,...,an,b1,...,bn}满足其中元素整体互素，a1,...,an成等差数列，b1,...,bn也成等差数列.
3,给定k，求所有满足以下条件的m:存在单位圆周上m个点，使得单位圆上任一点到这m个点距离k次方和为定值 (1)k=2018.(2)k=2019.
4.称正整数列an是好的，是指对任何不同正整数m,n有(m,n)整除am^2+an^2ql且(am,an)整除m^2+n^2.称a是k好的，是指存在好数列满足ak=a.是否存在k使得恰有2019个k好数?
5，求所有f：Q→Q，满足任何x,y∈Q,f(2xy+1/2)+f(x-y)=4f(x)f(y)+1/2.
6,甲乙二人玩一个游戏，初始时圆周上有80个0，甲乙两人轮流进行下述操作：每次甲将80个数每个加上一个非负实数，使总和增加1，然后乙选取总和最大的连续10个数，把它们均变为0.若某次乙操作完之后，有一个数≥k则甲获胜，求所有k使得甲有必胜策略.
7,几何，略
8，记S为所有分量和为2019的10元非负整数组，对S中某个元素，若其某个分量≥9，则可将此分量-9，其余9个分量+1，视为一次操作.若A能通过若干次操作得到B求，则称A→B.
(1)求最小k使得若A，B最小分量均≥k且A→B，则B→A.
(2)对(1)中的k，最多可以取出多少个分量均≥k的数组，任两个A，B不存在A→B?
9,设n为给定偶数，n个非负实数a1,...,an和为1，求∑_(1≤i<j≤n)min{(i-j)^2,(n-j+i)^2}aiaj最大可能值.
10,是否存在正整数有限集A，正整数无限集B，使得A+B中不同元素两两互素，且对任何m,n互素，均存在A+B中的元素x≡n(mod m)?（A+B={a+b|a∈A,b∈B}）
11,几何，略
12,给定＞1的互素整数p,q，称不能写成px+qy(x,y为非负整数)的数为坏数.所有坏数的2019次方和记为S(p,q).求证存在正整数n使得对任意上述p,q均有(p-1)(q-1)整除nS(p,q).