题目
~~~~~~ 设 n, k 属于 Z + Z_+ Z+，且n ≥ 2. 已知某国共有n座城市，并且每两座城市间均有一辆公交车可以双向行驶.证明：从城市A恰坐k辆公交车到达城市B的方法的数目为 ( n − 1 ) k − ( − 1 ) k n . \frac{(n-1)^k-(-1)^k}{n}. n(n−1)k−(−1)k.
解答
~~~~~~ 记从城市A乘坐k辆公交车到达城市B的方法数为 α ( k ) \alpha(k) α(k)，从城市A乘坐k辆公交车回到城市A的方法数为 β ( k ) . \beta(k). β(k).
~~~~~~ 易知，从城市A出发乘坐一辆公交车k次，有 ( n − 1 ) k (n-1)^k (n−1)k种方法.同时，若回到城市A有 β ( k ) \beta(k) β(k)种方法，若达到不同于城市A的城市有 ( n − 1 ) α ( k ) (n-1)\alpha(k) (n−1)α(k)种方法，因此，
~~~~~~ ( n − 1 ) α ( k ) + ( n − 1 ) α ( k − 1 ) = ( n − 1 ) k (n-1)\alpha(k)+(n-1)\alpha(k-1)=(n-1)^k (n−1)α(k)+(n−1)α(k−1)=(n−1)k
==> α ( k ) = ( n − 1 ) k − ( − 1 ) k n \frac{\alpha(k)=(n-1)^k-(-1)^k}{n} nα(k)=(n−1)k−(−1)k
~~~~~~ 当 k = 1 时，易得， α ( 1 ) = n − 1 + 1 n = 1 ， 结 论 成 立 \alpha(1)=\frac{n-1+1}{n}=1，结论成立 α(1)=nn−1+1=1，结论成立
~~~~~~ 假设k = m (m > 1, m ∈ Z) 时，结论成立.
~~~~~~ 当k = m + 1 ≥ 2 时，有
~~~~~~ α ( m + 1 ) = ( n − 1 ) m − α ( m ) = ( n − 1 ) m − ( n − 1 ) m − ( − 1 ) m n \alpha(m+1)=(n-1)^m-\alpha(m)=(n-1)^m-\frac{(n-1)^m-(-1)^m}{n} α(m+1)=(n−1)m−α(m)=(n−1)m−n(n−1)m−(−1)m
~~~~~ = ( n − 1 ) m + 1 − ( − 1 ) m + 1 n \frac{(n-1)^{m+1}-(-1)^{m+1}}{n} n(n−1)m+1−(−1)m+1
~~~~~~ 因此，当k = m + 1 时，结论成立.
~~~~~~ 综上，结论成立.