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分布函数与概率密度
在学习概率论与数理统计的时候,我始终没有搞明白分布函数和概率密度的意义。在这里趁着毕设的时候,做一次复习。
概率密度表示了随机变量的一个分布趋势,而分布函数表示概率密度的一个变上限积分。在下图中,
就表示了一个概率密度函数,我们能从图中很明显看出原点两侧有两个峰值分布。设分布函数是
,那么两者的关系是:
而且有
这个性质。
同样的,对于二维随机变量有:
其中
如上图右侧所示,如果想要求解连续性变量在某个区间内概率,只需要利用概率密度在区间内积分即可。
为什么使用概率密度
在一维的情况下,可能我们认为有了分布函数,好像概率除了能象征性的表示一下分布的特征之外没有其他的用处。可是如果推广到高维,情况就不一样了。有很多情况下,只有分布函数是无法计算概率的。很简单,在二维随机变量分布中,二维随机变量与XOY平面围成的体积是1,即整个的概率分布。如果我们要计算一个环形区域的积分,那么这个区域是无法通过分布函数进行计算的,只能通过概率密度对这个区域进行积分才可以。随意某种意义上讲,概率密度更常用。
边缘概率密度
边缘概率密度表示我们只关心其中的一个自变量的变化范围,忽略另一个的影响。
那么对于概率密度来说:
对于
的只需与
交换位置即可。
如果
与
相互独立,那么有
条件概率密度
这一点类比之前的条件概率