树状数组 - Binary Index Tree - Fenwick Tree

构建树状数组，实则就是初始化C数组。对于C数组，我们知道，下标为i的Ci，在树形逻辑结构中，它的父亲是i + 2^k = y，而它父亲的父亲则是y + 2^ k' = m...一直到超出数据范围为止。也就是说，原本的Ai，只会影响Ci及Ci的祖先。

由此，我们定义一个add(x,v)函数，使得它可以更新从下标x开始的树状数组。该操作也是修改操作。

void add(int x, int v) {
    for(int i = x; i <= n; i += lowbit(i)) {
            C[i] += v;
    }
}

初始化则为：（相当于用每一个Ai去add(i,A[i]))

for(int i = 1; i <= n; i++) {
    add(i, A[i]);
}

所以，sum(i) = sum（ i - lowbit(i) ）+ C[i]。
这个递推式的结束条件为，i == 0。当i == 0 时，它的lowbit(i) == 0。
所以可以直接写出递归代码：

int sum(int x){
        if (x == 0) {
            return 0;
        }
        else {
            return sum( x - lowbit(x)) + C[x];
        }
}

而递归往往实际开销较大，实际中我们写成：

int sum(int x){
        int res = 0;
        for(int i = x; i > 0; i -= lowbit(i)) {
            res += C[i];
        }
        return res;
}

至此，我们调用sum(R)即可在O(logn)的时间内求出R的前缀和了。同时，相当于也解决了求区间[L,R]和的问题。（sum(R) - sum(L - 1))。