数学杂烩总结(多项式/形式幂级数+FWT+特征多项式+生成函数+斯特林数+二次剩余+单位根反演+置换群)
因为不会做目录所以请善用ctrl+F
本来想的是笔记之类的，写着写着就变成了资源整理
一些有的没的的前置
导数
\(ln(g(x))\)的导数为\(\frac{g'(x)}{g(x)}\)
\((e^x)'=e^x\)
牛顿迭代
\(x_i=x_{i-1}-\frac{f(x_{i-1})}{f'(x_{i-1})}\)
麦克劳林展开
\(f(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{f^{(i)}(0)}{i!}x^i\) (麦克劳林级数)
几个常见泰勒展开
\(ln(1-x)=\sum\limits_{i}-\frac{x^i}{i!}\)
\(e^x=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!}\)
\(sin(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}(-1)^i\frac{x^{2i+1}}{(2i+1)!}\)
\(cos(x)=\sum\limits_{i=0}^{\infty}(-1)^i\frac{x^{2i}}{(2i)!}\)
\(\frac{1}{(1-x)^n}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}\binom{i+n-1}{n-1}x^i\) (可以用生成函数理解)
一个结论:\(e^{ix}=cos(x)+i\times sin(x)\)
拉格朗日插值
\(\sum\limits_{i=1}^{n}y_i\prod\limits_{j!=i}\frac{(x-x_j)}{(x_i-x_j}\)
多项式操作/形式幂级数
多项式求逆
\(C=B\times (2-AB)\)
(因为太常见我就不推了)
多项式开根
\((B-C)=0\)
\(B^2+C^2+2BC=0\)
\(B^2+A+2BC=0\)
\(C=(A/B+B)/2\)
这里插一个二次剩余的Cipolla算法
https://blog.csdn.net/qq_33229466/article/details/79125057
多项式\(ln\)
\(B=lnA\)
\(B'=\frac{A'}{A}\)
(不用倍增！当前倍增也不会错复杂度也一样)
多项式\(exp\)
\(B=e^A\)
\(lnB=A\)
\(lnB-A=0\)
\(B=B-(lnB-A)\times B=B\times (1-lnB+A)\)
多项式求导
for(i=1;i<len;i++)b[i]=a[i-1]*i;多项式求积分
for(i=1;i<len;i++)b[i-1]=a[i]*inv[i-1];多项式快速幂
\(B(x)=A(x)^n\)
\(lnB(x)=nlnA(x)\)
常数项不为\(1\)需要特殊处理。
https://blog.csdn.net/xyz32768/article/details/82832467
多项式除法
定义\(A_R\)满足\(A_R[i]=A[n-i]\)。
\(F(x)=Q(x)G(x)+R(x)\) \((deg(F)=n,deg(G)=m,deg(Q)=n-m,deg(R)=m-1)\)
\(F(\frac{1}{x})=Q(\frac{1}{x})G(\frac{1}{x})+R(\frac{1}{x})\)
同乘\(x^n\)，得\(F_R(x)=Q_R(x)G_R(x)+R_R(x)x^{n-m+1}\)
\(F_R(x)=Q_R(x)G_R(x)(mod\ x^{n-m+1})\)
\(Q_R=F_R/G_R\)
多项式取模
\(A\ mod\ B=A-\lfloor \frac{A}{B}\rfloor A\)
多项式多点求值
对于\(F(x)\)和\(x_1,x_2,...x_m\)求出\(F(x_1),F(x_2),...,F(x_m)\)。
思路就是分治，同时利用多项式取模减少多项式的次数。
先计算\(G_{ls}=\prod\limits_{i=l}^{mid}(x-x_i),G_{rs}=\prod\limits_{i=mid+1}^r(x-x_i)\)
对于左边的所有\(x_i\)，在\(G_{ls}\)下的点值都是\(0\)，因此可以把\(F\)变成\(F\ mod\ G_{ls}\)，右边同理。
多项式快速插值
\(F(x)=\sum\limits_{i=1}^n\frac{\prod_{j!=i}(x-x_j)}{\prod_{j!=i}(x_i-x_j)}y_i\)
考虑求出\(\prod_{j!=i}(x_i-x_j)\),设\(M(x)=\prod_{i=1}^n(x−x_i)\)，那么我们就是要求\(\frac{M(x)}{x-x_i}\)。
\(x=x_i\)，根据洛必达法则，得这个式子就等于\(M'(x_i)\)，可以多点求值求出这个。
设\(v_i=\frac{y_i}{\prod_{j!=i}(x_i-x_j)}\),我们要求的就是\(\sum\limits_{i=1}^nv_i\prod_{j!=i}(x-x_j)\)
同样分治即可。
多项式的复合
\(A(B(x))\)
多项式的复合逆
\(F(x),G(x)\),\(F(G(x))=x\) 称\(F(x)\)和\(G(x)\)互为复合逆。
拉格朗日反演
若\(F(x)\)是\(G(x)\)的复合逆，那么满足\([x^n]F(x)=\frac{1}{n}[x^{n-1}](\frac{x}{G(x)})^n\)
推广形式:\([x^n]H(F(x))=\frac{1}{n}[x^{n-1}]H'(x)(\frac{x}{G(x)})^n\)
特征多项式
https://www.luogu.org/blog/ShadowassIIXVIIIIV/solution-p4723
https://blog.csdn.net/qq_35649707/article/details/78688235
对于懒得推式子选手可以选择记结论:
\(A^n=\sum\limits_{i=0}^{k-1}c_iA^i\)
\(St\times A^n=\sum\limits_{i=0}^{k-1}c_iSt\times A^i\)
\(ans=[0](St\times A^n)=\sum\limits_{i=0}^{k-1}c_i[0](St\times A^i)\)
\(ans=\sum\limits_{i=0}^{k-1}c_iSt_i\)
\(A^n=Q(A)G(A)+\sum\limits_{i=0}^{k-1}c_iA^i\)
\(g_{k-i}=-a_i\)
乘法和取模可以\(O(k^2\log k)\)或\(O(k\log k)\)实现。
生成函数
https://www.luogu.org/blog/ShadowassIIXVIIIIV/sheng-cheng-han-shuo-xia-chui
一般生成函数(OGF)
给定一个形如\(x_1+x_2+…+x_m=n\)的方程，求非负整数解的数量，其中\(x_i\)满足：\(x_1\)必须是个偶数\(x_2\)必须是个质数\(x_3\)的\(μ\)值不能为\(0\),\(x_4\)必须是一个windy数
指数生成函数(EGF)
给定一些红球、黄球、蓝球和绿球，将其组成一个长度为\(n\)的序列，要求：红球必须有偶数个,白球数量必须是个质数,蓝球数量的\(μ\)值不能为\(0\),绿球数量必须是个windy数
- 可以看出EGF可以用来解决排列问题。
集合的指数生成函数
给定\(n\)个彼此不同的小球，要求划分为一些集合，每个集合的生成函数是\(F(x)\)，求方案数
- 划分成\(i\)个集合的方案数为\(\frac{F^i(x)}{i!}\)，故总方案数为\(\sum\limits_{i=0}^{\infty}\frac{F^i(x)}{i!}=e^{F(x)}\)
一些可以背一背的生成函数
树:\(A(x)=\sum_{n\ge 0}\frac{n^{n-2}}{n!}x^n\)
森林:\(expA(x)\)
无向图:\(C(x)=\sum_{n\ge 0}\frac{2^{\binom{n}{2}}}{n!}x^n\)
无向连通图\(lnC(x)\)
FWT
or卷积和and卷积很好理解
xor卷积看这个https://blog.csdn.net/neither_nor/article/details/60335099
m进制卷积
这个对于or和and还是一个前缀和的性质。
对于xor..显然我不知道\(m\)进制下的异或有什么意义。
快速子集变换
大概就是求这么一个式子\(A_i=\sum\limits_{j+k=i,j\&k=0}B_j\times C_k\)
用占位多项式搞一搞即可，多开一维数组存\(1\)的个数，背包合并。
组合数学
第一类斯特林数
第二类斯特林数
- 第二类斯特林数是将n个不同的元素拆分成m个集合的方法数目。
性质1:
- \(x^{n\downarrow}=\sum\limits_{i=0}^n\)
单位根反演
https://blog.csdn.net/DT_Kang/article/details/79944113
\(\frac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}w^{ki}=[n|k]\)
怎么求原根
从\(2\)开始枚举\(g\)，检查是否对于所有的\(q,is[q],q|\varphi(p)\)都满足\(g^{\frac{phi}{q}}\not =1\) 。
置换
https://blog.csdn.net/zhouyuheng2003/article/details/88527913
广义二项式定理
\((1+x)^{-n}=\sum\limits_{i=0}^{\infty}(-1)^{i}\binom{n+i-1}{i}\)
\((1-x)^{-n}=\sum\limits_{i=0}^{n}\binom{n+i-1}{i}\)