题面

题目描述

某一天，你发现了一个神奇的函数\(f(x)\)，它满足很多神奇的性质：

\(f(1)=1\)。
\(f(p^c)=p \oplus c\)（\(p\) 为质数，\(\oplus\)表示异或）。
\(f(ab)=f(a)\cdot f(b)\)（\(a\) 与 \(b\) 互质）。

你看到这个函数之后十分高兴，于是就想要求出 \(\sum\limits_{i=1}^n f(i)\)。

由于这个数比较大，你只需要输出 \(\sum\limits_{i=1}^n f(i) \bmod (10^9+7)\)。

输入格式

一行一个整数 \(n\)。

输出格式

一行一个整数 \(\sum\limits_{i=1}^n f(i) \bmod 1000000007\)。

样例

样例输入 1

样例输出 1

样例输入 2

233333

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样例输出 2

179004642

样例输入3

9876543210

样例输出3

895670833

数据范围与提示

对于\(30\%\)的数据，\(n \leq 100\)。

对于\(60\%\)的数据，\(n \leq 10^6\)。

对于\(100\%\)的数据，\(1 \leq n \leq 10^{10}\)。

题目分析

要求\(f(p^c)=p\oplus c\)，

对除\(2\)以外的质数\(p\)而言，等价于求\(f(p)=p-1\)。

我们可以用该函数来求\(g\)，

然而，由于该函数并不是一个完全积性函数，

我们需要把它拆成两个部分，分为\(f_1(p)=p,f_2(p)=1\)，

并预处理出对应的\(g(n,j),h(n,j)\)。

此时，\(S(n,j)\)的初值为
\[ g(n,|P|)-h(n,|P|)-\sum_{i=1}^{j-1}f(p) \]

需要注意的是，若\(j=1\)，\(f(2)\)会被计算在答案之中，

但是在上面预处理的时候我们算的是\(f(2)=1\)，需额外加\(2\)。

代码实现

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<cstdio>
#include<iomanip>
#include<cstdlib>
#define MAXN 0x7fffffff
typedef long long LL;
const int N=250005,mod=1e9+7;
const int inv2=5e8+4;
using namespace std;
inline LL Getint(){register LL x=0,f=1;register char ch=getchar();while(!isdigit(ch)){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}while(isdigit(ch)){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
bool vis[N];
int prime[N],tot;
LL n,sqr,w[N],h[N],g[N],sp[N];
int id1[N],id2[N],m;
void Pre(int n){
    vis[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i])prime[++tot]=i,sp[tot]=sp[tot-1]+i;
        for(int j=1;j<=tot&&1ll*i*prime[j]<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0)break;
        }
    }
}
int S(LL x,int y){
    if(x<=1||prime[y]>x)return 0;
    int k=(x<=sqr)?id1[x]:id2[n/x],ret=(g[k]-sp[y-1]-h[k]+y-1)%mod;
    if(y==1)ret+=2;
    for(int i=y;i<=tot&&1ll*prime[i]*prime[i]<=x;i++){
        LL t1=prime[i],t2=1ll*prime[i]*prime[i];
        for(int e=1;t2<=x;++e,t1=t2,t2*=prime[i])
            (ret+=1ll*S(x/t1,i+1)*(prime[i]^e)%mod+((prime[i]^(e+1))%mod))%=mod;
    }
    return ret;
}
int main(){
    n=Getint(),sqr=sqrt(n);
    Pre(sqr);
    for(LL i=1,j;i<=n;i=j+1){
        j=n/(n/i),w[++m]=n/i;
        g[m]=(w[m]%mod)*((w[m]+1)%mod)%mod*inv2%mod-1;
        h[m]=(w[m]-1)%mod;
        if(w[m]<=sqr)id1[w[m]]=m;else id2[j]=m;
    }
    for(int j=1;j<=tot;j++){
        for(int i=1;i<=m&&1ll*prime[j]*prime[j]<=w[i];i++){
            int k=(w[i]/prime[j]<=sqr)?id1[w[i]/prime[j]]:id2[n/(w[i]/prime[j])];
            (g[i]-=prime[j]*(g[k]-sp[j-1]))%=mod;
            (h[i]-=h[k]-j+1)%=mod;
        }
    }
    int ans=S(n,1)+1;
    cout<<(ans+mod)%mod;
    return 0;
}

LOJ#6053 简单的函数

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