day1
【E√，F√，G√】
签到。
【B，H，I】
待补。
【A√】
题意：有 $k(\leq 1000) 个选手和 \(N(\leq 1000)\) 个评委。每个评委给出一个长度为 \(k\) 的排列，表示对每个选手的喜欢程度。选手的最终名次是这么决定的：从 \(1\) 号评委开始，每次当前评委选取最厌恶的（且名次待定的）选手，将其设为名次待定选手中的最后一名。如果 \(n<k\)，评委循环决策，直到确定了所有选手的名次。现在你是 \(v\) 号评委，只有你还未给出排列。你关注 \(k\) 号选手。现在你能任意设定排列，求 \(k\) 号选手最终排名最好能是多少。
题解：先假设没有评委 \(v\) 模拟一遍，确定出依次被确定出的选手编号（轮到第 \(v\) 号评委时用 \(o\) 表示）： \(xxxxoxxxxoxxyxoxx\dots\)。设 \(y\) 表示 \(k\) 的位置。现在我们要找一些选手将它们填到 \(o\) 里，使得 \(y\) 的位置尽量靠后。首先，优先放 \(y\) 之后的所有选手，因为这样 \(y\) 的排名不发生变化。如果还有空格需要填 \(y\)，此时我们会发现，无论把哪个数字提前，\(y\) 的位置必然会前进。而如果我们每次把 \(y\) 之前的那个数提上去，\(y\) 的位置必然前进 \(1\) ——即这必然是最优解。所以确定 \(v\) 号评委排列时，我们只需先把 \(x\) 后面的数字塞进去，随后把 \(x\) 前面的数字逆序塞进去。
【C√】
题意：给出一个长度小于 \(5000\) 的字符串。将其所有子串排序并连接。有 \(M(\leq 5000)\) 个询问，每次问新串第 \(k\) 位的字符是什么。
题解：构出后缀自动机直接遍历的复杂度是 \(O(N^2 \sum)\) 的，不太优美。
观察 \(height\) 数组。假设我们在考虑 \(l \sim r\) 这些排名的后缀。设 \(L=min(ht[l+1] \dots h[r])\)，容易发现，长度为 \(1,2,\dots,L\) 的前缀必然依次排布在新串开头，且各有 \(r-l+1\) 个。对于长度更长的子串，我们可以把\((l,r)\) 分成两半，这两半字典序严格递增。现在问题独立，先递归前一半再递归后一半。单次询问复杂度 \(O(|S|)\)，总复杂度 \(O(|S|^2+M|S|)\)。
【D√】
题意：给出一个长度小于 \(3000\) 的字符串，求有多少种划分方案，使得每一段字典序都是严格递增的。
题解：有个经典操作是，设 \(diff_{i,j}\) 表示后缀 \(i\) 和后缀 \(j\) 的第一个不同位置，这个可以递推预处理出。倒着dp，设 \(f_{i,j}\) 表示后缀 \(i\) 的划分里，第一段是 \(S_{i \sim j}\) 的方案数。转移时枚举 \(k\)，把合法的 \(f_{j+1,j}\) 累加进答案。显然 \(k\) 是有单调性的，可直接根据 \(diff_{i,j}\) 计算出来，再套个前缀和优化即可。
【J√】
题意：给出两棵 \(2N-2(N \leq 1000)\) 个点的树，保证每个点度数是 \(1\) 或 \(3\)，且叶节点编号为 \(1 \sim N\)。问有多少对四元组 \((A,B;C,D)\)，满足 \(A,B,C,D\) 是叶子，且第一棵树上 \(A \sim B\)，\(C \sim D\) 的有交性和第二棵树上相反。
题解：转化成：求在两棵树上都不交的四元组个数。考虑枚举 \((A,B)\) 的 \(LCA\) 统计个数。因为我们在无根树上考虑问题，要拓展这个 \(LCA\) 的“定义”。严格地来说，对于一组合法的 \((A,B,C,D)\)，定义 \(x\) 为 \(A \sim B\) 路径上里路径 \(C \sim D\) 最近的点。我们每次枚举第一棵树上的 \(x\) 和第二棵树上的 \(x\) 并统计答案。容易发现，每个合法四元组会被统计两次。
每次枚举度数为 \(3\) 的点。其中两个度分别放 \(A\) 和 \(B\)，另一侧放 \((C,D)\)（只需统计点的个数 \(t\)，方案数就是 \(C_t^2\)）。我们可以借助有根树的 \(DFS\) 序快速维护答案。因为有两棵树，可行点数是它们的交。这是一个经典问题，对于一个点 \(x\)，假设它在两棵树上的 DFS 序是 \((u_x,v_x)\)，将其看做一个点，每次就是矩形询问。因为是离线的，我们可以二维前缀和预处理，就支持 \(O(1)\) 询问啦。
还有一种直接 DP 的做法：我们枚举第一棵树 \((A,B)\) 的 LCA。将第一个分叉的所有叶子在第二棵树的对应位置标为 \(1\)，第二个分叉标为 \(2\)，第三个分叉标为 \(3\)。对于第二棵树里的所有从 \(1\) 到 \(2\) 的路径，它将该树化成了若干个连通块，我们要求每个联通块 \(C_X^2\) 的和。这可以通过比较麻烦的树形 DP \(O(N)\) 求出来。总复杂度也是 \(O(N^2)\)。
【K√】
题意：有一个 \(N \times N(N \leq 300)\) 的数字矩阵。求一个子矩阵，使得 “数字和” 比上 “周长” 最大。
题解：直接做是 \(N^3 log V\) 的：枚举上下边界后分数规划。有一个小 trick是：每次做到一组上下边界时，先去 check 一下当前答案，如果不合法直接退出二分过程。这个做法的理论复杂度是 \(O(N^3+N^2 \log V)\) 的。
上述证明可以抽象成这么一个问题。我们有 \(N^2\) 个箱子，每个箱子可以 \(O(N \log V)\) 确定它的解，或者 \(O(N)\) 验证一组解可不可行。现在要求所有箱子解的最大值。考虑一种做法：每次随机选择一个箱子确定它的最优解 \(X\)。然后遍历所有箱子 \(O(N)\) check，如果 \(X\) 不是该箱子的解就扔掉这个箱子。对于剩下的箱子继续这么做。这样的复杂度是 \(T(M)=N \log V+MN+T(x)\)，其中 \(x\) 是 \(0 \sim M\) 里随机的。事实上，这个复杂度等于 \(T(M)=N \log V+MN+T(\frac{N}{2})\)。
【C√】
题意：给出一个字符串 \(S(|S| \leq 10^5)\)。有 \(Q(\leq 3 \times 10^5)\) 个询问，每次给出 \((l,r)\)，问 \(l \sim r\) 之间有多少本质不同的子串。
题解：如果用 \(manacher\) 求出每个位置的回文半径 \(p_i\)，那么对于一个询问 \((l,r)\)，答案就是 \(\sum_{i=l}^r \min(p_i,i-l+1,r-i+1)\)。比赛时我想的是，每次枚举一个位置 \(i\)，去维护它对所有询问 \((l,r)\) 的贡献。\(min\) 里面有 \(3\) 个量不太好直接维护。假设我们维护好了\((l,r)\) 的答案，如果边界变动一格，我们可以用主席树在 \(O(\log N)\) 的时间内求出增量（比如 \(l\) 减一，就是询问 \(\sum_{i=l}^{(l+r)/2} [p_i<l]\)。那么我们可以分块，先用差分数组在 \(O(N \sqrt N)\) 时间内维护出 \(f_{b,r}\) ，表示第 \(l\) 个块的开头到位置 \(r\) 的答案。每次询问时移动 \(l\) 求增量，询问复杂度 \(O(Q \sqrt N\log N)\)。但这样是过不了的。发现每次移动的询问是彼此独立的，可以先离线下来（为了防止空间不够，可以每隔几百万离线求一次），用桶排+树状数组快速求出答案，几乎可以把原来的主席树的 \(O(\log N)\) 的常数给拿掉。
发现比赛中智商--。反过来考虑，直接固定一个 \((l,r)\)，求所有 \(p\) 对它的贡献。 根据 \(mid\) 划成两半，三维 \(min\) 就直接变成了二维 \(min\)……然后离线+线段树或者直接主席树就在 \((N \log N)\) 时间内轻松解决了……